Найти образ области при дробно-линейном отображении

[DeadChild]

Здравствуйте. Очень нужна ваша помощь. Хочу разобраться с этим заданием:
Найти образ области $D$ при отображении $w=\frac{1-z}{1+z}$,
если $D=\{|z|<2, |\arg(z)-\frac{3\pi}{4}|<\frac{\pi}{2}\}$
С чего нужно начать и каков ход решения?

[mihailm]

Нарисовать область D на всякий случай,
далее смотреть куда переходит граница D (по кускам понятно)

[DeadChild]

mihailm в сообщении #519201 писал(а):

Нарисовать область D на всякий случай

Извините, я плохо понимаю комплексный анализ. Объясните, как нарисовать область D? Может примеры есть с графиками?

[Nemiroff]

DeadChild в сообщении #519203 писал(а):

mihailm в сообщении #519201 писал(а):

Нарисовать область D на всякий случай

Извините, я плохо понимаю комплексный анализ. Объясните, как нарисовать область D? Может примеры есть с графиками?

Ну для этого нужно знать, что такое аргумент и модуль комплексного числа.
Вот модуль - это длина радиус-вектора. Соответственно, $|z|<2$ - числа, для которых расстояние от начала координат до них меньше двух. То бишь, незамкнутый круг.
А теперь выясните про аргумент и нарисуйте множество.

[zhoraster]

Возвращено из карантина.

[DeadChild]

Nemiroff в сообщении #519205 писал(а):

А теперь выясните про аргумент и нарисуйте множество.

Угол $\varphi$ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу $z$, называется аргументом числа $z$ и обозначается $Arg(z)$.
Возможно так можно найти аргумент:
$|\arg(z)-\frac{3\pi}{4}|<\frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2}<\arg(z)-\frac{3\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$
$-\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}<\arg(z)<\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}$
$\frac{\pi}{4}<\arg(z)<\frac{5\pi}{4}$

[DeadChild]

А что дальше то с этим делать? Как нарисовать область $D$?

[ИСН]

Круг как нарисовать? Циркулем.
Или как вырезать из него... как там это называется?

[DeadChild]

ИСН в сообщении #519516 писал(а):

Круг как нарисовать? Циркулем.
Или как вырезать из него... как там это называется?

Круг я нарисовала, а с аргументом как быть? $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$ это первая и третья четверти. Прямая линия что ли получится?

[ewert]

DeadChild в сообщении #519530 писал(а):

а с аргументом как быть?

Почему $|z|=2$ -- это окружность? Потому, что модуль есть расстояние до центра, т.е. геометрическое место точек, для которых расстояние до центра постоянно.

А что такое аргумент комплексного числа? По определению это -- полярный угол для соответствующей точки на комплексной плоскости. Так что за линия получится, если этот угол зафиксировать, а всё остальное отпустить на волю?...

[DeadChild]

ewert в сообщении #519548 писал(а):

DeadChild в сообщении #519530 писал(а):

а с аргументом как быть?

Почему $|z|=2$ -- это окружность? Потому, что модуль есть расстояние до центра, т.е. геометрическое место точек, для которых расстояние до центра постоянно.

А что такое аргумент комплексного числа? По определению это -- полярный угол для соответствующей точки на комплексной плоскости. Так что за линия получится, если этот угол зафиксировать, а всё остальное отпустить на волю?...

У меня получается линия проходящая через начало координат. Угол равен 180 градусам.

[ewert]

Получается. Только надо всё-таки осознавать, что это "случайно" получилась линия, а по происхождению это -- объединение двух лучей. (я бы не стал занудствовать, но Вы там в начале такие странные вопросы задавали...)

[DeadChild]

ewert в сообщении #519568 писал(а):

Получается. Только надо всё-таки осознавать, что это "случайно" получилась линия, а по происхождению это -- объединение двух лучей. (я бы не стал занудствовать, но Вы там в начале такие странные вопросы задавали...)

ну дак...) вообще плохо с комплексным анализом. А у нас экзамен по нему будет.
Далее говорили

mihailm в сообщении #519201 писал(а):

смотреть куда переходит граница D (по кускам понятно)

а как это понимать?

[ewert]

DeadChild в сообщении #519577 писал(а):

а как это понимать?

А это так. Преобразование у Вас дробно-линейное, и Вы обязаны помнить (раз уж сдавать экзамен), что любое такое преобразование любую прямую или окружность переводит также в прямую или окружность. Любая прямая или окружность однозначно строится по трём точкам (и прямая тоже по трём, т.к. мы заранее не знаем, будет ли образом данной линии окружность или прямая). У Вас границей полукруга являются как раз два таких участка, вот и выберите на каждом из них по три каких-нибудь точки и посмотрите, куда они перейдут. (В качестве двух из них, конечно, надо брать вершины полукруга, ну а по ещё одной возьмите что-нибудь попроще.)

[DeadChild]

ewert в сообщении #519589 писал(а):

Преобразование у Вас дробно-линейное, и любое такое преобразование любую прямую или окружность переводит также в прямую или окружность. Любая прямая или окружность однозначно строится по трём точкам (и прямая тоже по трём, т.к. мы заранее не знаем, будет ли образом данной линии окружность или прямая). У Вас границей полукруга являются как раз два таких участка, вот и выберите на каждом из них по три каких-нибудь точки и посмотрите, куда они перейдут. (В качестве двух из них, конечно, надо брать вершины полукруга, ну а по ещё одной возьмите что-нибудь попроще.)

А наглядно можно где-нибудь посмотреть этот переход? В классе мы делали что-то подобное. но я так и не разобралась почему так получается. Это как-то надо вычислить или это так сразу видно?