Ряды в матанализе.

[eugrita]

Ну хоть убей, не понимаю распределения тем по курсам матанализа во многих ВУЗах. Почему-то теория рядов (исторически весьма древняя) часто относится к следующему семестру после пределов, производной, а иногда еще к "дополнительным главам" читаемым на 2 курсе.Чем эта теория рядов так провинилась? Насколько помню в учебн Фихтенгольца последовательность не та.
А еще и такая мода - многим начинающим изучать язык программирования, например Паскаль в колледжам подсовывают цикл задач на вычисление сумм или произведений рядов).
А вообще по-моему курс матанализа 2 или 3 даже в приличном ВУЗе слабоват.
Ведь это фактически и теория поля -введение в уравнения математической физики. Обычно он обрывается после формул Гаусса-Остроградского, Грина.
Хорошо сочетать его с разделами физики - электростатикой (вычисление потенциалов, емкостей), расчетом тепла и проч.
Правда это конечно не всем а только инженерным и физическим специальностям

[ewert]

eugrita в сообщении #517485 писал(а):

. Почему-то теория рядов (исторически весьма древняя) часто относится к следующему семестру после пределов, производной,

Потому, что ряды невозможно систематически изучать до определённых интегралов, к тому же ещё и несобственных, а это всё -- потом, потом.

[eugrita]

вы имеете ввиду видно интегральный признак Коши, сводящий вопрос о сходимости ряда к сходимости несобственного интеграла.
Но есть и другой прием облегчающий вычисление интегралов и используемый в численных методах - разложение подинтегральной функции в ряд с последующим его интегрированием. Тогда можно считать, что ряды полезны для вычисления интегралов, т.е. для раздела курса "Интегральное исчисление" и как минимум не должны читаться после этого раздела?

[ewert]

eugrita в сообщении #517823 писал(а):

Но есть и другой прием облегчающий вычисление интегралов и используемый в численных методах - разложение подинтегральной функции в ряд с последующим его интегрированием.

Это бессмысленно. Бессмысленно облегчать то, чего ещё нет (в данном случае интегралов). Т.е. излагать ряды до изложения интегралов -- бессмысленно абсолютно. И Ваш как бы пример это лишь лишний раз это как бы подтверждает.

[eugrita]

Ладно соглашусь в этом с вами.
а не кажется вам интересным такой подход:
рассматривать ряды одновременно с итерационными процессами. Итерационный процесс может сходиться или расходиться и ряд тоже. Аналог n-итерации процесса частичная сумма ряда $S_n$
В матанализе каждый член ряда выражен формулой зависящей от n отсюда собственно и ряд.
В итерационном процессе тоже формулы, но обычно рекуррентного характера.
Тогда обретают смысл сразу критерии окончания итерационного процесса.
Конечно классический матанализ и численные методы - разные дисциплины - но в этом - общее.

[sergei1961]

Насчёт бессмысленности я бы не стал так категорично утверждать. Хотя сам читаю как все. А вот учебник Эйлера Дифференциальное исчисление вводит ряды и разности в первом параграфе, и если почитать одно оглавление к нему, то там про ряды больше, чем про производные-посмотрите. А про интегралы пока ничего нет, они у Эйлера в других последующих томах. Так что здравое что-то в высказанном есть.
Про итерации и численные методы. В учебнике Фихтенгольца с самого начала встречаются примеры и с итерациями, да и если собрать весь материал, то получится, что в нём изложены и основные численные методы, по крайней мере, для вычисления производных, интегралов, рядов, решения уравнений. Так что в хороших книгах так и делают, просто мало их.

[eugrita]

А по поводу дифференцирования и производных. Встречал в интернете (ссылку не могу привести) курс, относящийся по моему к математической экономике в котором автор буквально все основные понятия ухитрялся давать в конечно-разностных понятиях без использования производных и интегралов. вместо производных -конечные разности, вместо интегралыных характеристик - суммирование с накоплением...Посмотрел бы Л.Эйлер или Лейбниц на это.
Еще в 1978 г работая в ИМАШ АН СССР про зав.отделом виброакустики д.т.н, проф.М.Д.Генкина ,автора около 800 научных трудов(в соавторстве) ходили слухи, что он не знает, что такое производная.Баллотировался даже на член-корра, но не прошел.
------------------------------------------------------------------
А если серьезно.хотелось бы в курсах матанализа 2 (кроме естественно необходимого дифференциального и интегрального исчисления) сделать больший упор чем обычно на ряды, преобразования Фурье. Включая практические их применения, например 2-мерное преобр Фурье - в алгоритмах сжатия-восстановления изображений, 1-мерн Фурье в спектрометрическом анализе.,задачах обработки сигналов

[eugrita]

Можно дополнить матанализ 2 вообще понятием интегральное преобразования, рассматривать не дифф.ур. а уравнения в конечных разностях , дискретные переходные функции и пр. Тогда удобная физические аналогии интегральное преобразование в реальном масштабе времени-спектроанализатор, интегрирование - емкость, дифференцирование- напряжение на индуктивности.
Приходим вообще к методам аналогового моделирования. Вот до каких высот добирается математический анализ. Но многие учившие его это не представляют.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #518393 писал(а):

А вот учебник Эйлера Дифференциальное исчисление вводит ряды и разности в первом параграфе,

Эйлер -- доисторический персонаж. Тогда современная математика была лишь в зародыше. И многие вещи он лишь интуитивно предугадывал. Конечно, его интуиция была гениальной; однако сегодня строить систематический курс лишь на интуициях невозможно.

eugrita в сообщении #518359 писал(а):

рассматривать ряды одновременно с итерационными процессами.

А что такое "итерационный процесс"?... Это -- весьма расплывчатое понятие. И для каждой конкретной задачи -- весьма специфическое. Поэтому и "теория итерационных процессов" невозможна.

[eugrita]

давайте ограничен класс итерационных процессов только вычислениями по рекуррентным формулам. Т.е. Значение параметра i-итерации -конкретная функция параметров (i-1)-итерации. Под этот класс попадают и всякие методв нешения нелинейн уравн 1 перем - методы Ньютона,касательных. Попадает итерационный метод Якоби вычисления мах собсв частоты матрицы. Попадают всякие вычисления из области рекурсивных фильтров и т.п. Получается уже не так уж мало. А классический ряд в матанализе это
$a_n=f(n)$ даже рекуррентные последовательности и ряды типа ряда Фибоначи там не рассматривают. Эта область сама по себе, а теория рядов матана - тоже сама по себе

[ewert]

eugrita в сообщении #519197 писал(а):

Получается уже не так уж мало.

Получается слишком много -- между этими алгоритмами нет ничего общего. Поэтому никакой теории не сформулируешь.

Нет, кое-что общее есть: принцип сжимающих отображений. Но это -- вещь в себе, т.е. некоторая вполне конкретная теорема и не более того.

eugrita в сообщении #519197 писал(а):

даже рекуррентные последовательности и ряды типа ряда Фибоначи там не рассматривают.

Рекуррентные последовательности никакого отношения к итерационным процессам не имеют. И, кстати, "ряд Фибоначчи" на самом деле никакой не ряд, а последовательность. К рядам рекуррентные последовательности действительно прямого отношения не имеют; скорее уж к дифференциальным уравнениям (идеологически).

[sergei1961]

Эйлер-великий математик, которые не бывают доисторическими. Примеры из его учебников переписаны в сотни книг, включая хорошие современные. Просто есть особая секта людей, строящих свою вавилонскую башню в виде якобы совершенного здания абсолютно строгого и чистого матанализа, который к тому же насильно впаривается при обучении студентов, что вообще преступно. Просто внутри секты можно чем угодно заниматься, это личное дело участников, но не при первоначальном преподавании. В такой секте конечно не нужны Эйлер, Гаусс, Кеплер, Чебышёв и другие математики подобного уровня, все из которых на первое место ставили ясность изложения, связь с разными разделами математики и приложениями, а не пустопорожнюю строгость только ради её самой.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #519323 писал(а):

В такой секте конечно не нужны Эйлер, Гаусс, Кеплер, Чебышёв и другие математики подобного уровня, все из которых на первое место ставили ясность изложения, связь с разными разделами математики и приложениями, а не пустопорожнюю строгость только ради её самой.

Вы просто ни разу в жизни не преподавали математику. Связь с приложениями -- конечно, полезна, но -- в меру. Ибо помимо лирических отступлений надобно и материал изложить, а на это требуется время, знаете ли.

Представления о "ясности изложения" у Вас тоже вполне иллюзорны. За Чебышёва не скажу (он всё-таки достаточно современный по стилю математик); но вот по поводу Гаусса -- попалось мне тут изложение его оригинального доказательства "основной теоремы алгебры", которая насчёт корней многочленов (в изложении Феликса Кляйна). Точнее, двух вариантов доказательства. Так вот за первое опять же не скажу, но второе -- конечно, безусловно гениальное. По геометрической идее. Однако на доказательство -- совершенно не тянет. Там просто размахивание руками. Гаусс и сам толком не понимал, о чём в точности он говорил. У него просто не было ещё для этого математического языка. Суть дела -- предчувствовал (на то он и гений), но что в точности чувствовал -- не понимал.

Но Гауссу -- простить можно, конечно; и не столько даже за авторитетность, сколько потому, что это было всё-таки лет двести назад. Когда же сегодня пытаются подменять математику лирикой -- это уже непростительно.

[eugrita]

Да ,согласен. Рекуррентные последовательности - не суммируются, т.е не ряды, у них обычно даже An не стремится к 0 . Простите, в полемике погорячился.
Категоричность sergei1961 мне не очень нравится. Хотя на том уровне преподавания математики с которым я на практике сталкивался студенты не имели математическую специализацию, скорее были практиками-инженерами.
Поэтому такие параллели между численными методами и классическим матанализом были допустимы. При наличии математических пакетов скажем Mathcad или Matlab можно так "преподать" мат.анализ: студента обучают как пользоваться блоком символических вычислений, он вводит формулу, нажимает на кнопку и результат - предел, интеграл,...-на экране.
Наподобие тому как современные мальчики используют навороченные программируемые калькуляторы, не в состоянии без них сложить или умножиты 2-значные или 3-значн числа.
А вот 2 мой тезис по поводу преподавания скажем макроэкономики вообще без использования понятий непрерывность, производная и интеграл я чуть позже разовью подробнее в отдельной теме
"Связь с приложениями полезна, но в меру" - считаю что связь с приложениями обязательно нужна, ее следует подчеркивать.
Пример - геометрический, физический и экономический смысл производной.
Точно так же как при обращении к теме рядов Фурье, спектра, в особенности к многомерному их варианту крайне важно понимать, где эти не такие уж простые понятия и алгоритмы на практике применяются, да еще как - в режиме разового расчета или в режиме непрерывного поступления новой информации - в реальном масштабе времени. (Во 2 случае крайне важно быстродействие алгоритма)
А вопросы сходимости или скорости сходимости этих рядов Фурье (скажем для уравнения теплопроводности) крайне важны в физике для оценки времени переходного процесса. Это фактически та же теория рядов в усложненном варианте.

[sergei1961]

Математику преподаю 30 лет. Заменять её лирикой не предлагал-это Ваши домыслы. Предлагал не заменять схоластикой. Не надо передёргивать. К тому же речь у меня шла о первоначальном курсе.
То что Гаусс не понимал доказательства основной теоремы алгебры-это на Ваше усмотрение, я бы так не позволил себе говорить. Может быть Вы не все доказательства его знаете. Одно через интегралы от параметра кажется кстати изложено у Фихтенгольца, менее страницы занимает. Тоже непонятно?
Может быть Вы предались неумеренному обобщению и к тому же забыли, что свобода не есть произвол. Таким образом, пришли к тому, что называется номинализмом, и возник вопрос, не одурачен ли ученый своими определениями и не является ли весь мир, который он думает открыть, простым созданием его прихоти. При таких условиях наука была бы достоверна, но она была бы лишена значения. Если бы это было так, наука была бы бессильна. Но мы постоянно видим перед своими глазами ее плодотворную работу. Этого не могло бы быть, если бы она не открывала нам чего – то реального; но то, что она может постичь, не суть вещи в себе, как думают наивные догматики, а лишь отношение между вещами; вне этих отношений нет познаваемой действительности.