Чемодан для кривых

[ИСН]

В сущности, это нужно не сюда, а в "Придумывание задач", но такого форума нету, так что слушайте. Мне представилась выпуклая фигура минимальной площади, в которую можно уложить любую гладкую кривую длины 1. Есть у этого смысл или нет?

[mihiv]

Смысл есть,потому что,например,должны выполняться неравенства:$\dfrac 1{4\pi }\leq S_{min}\leq \dfrac 14+\dfrac {\pi }{16}$.

[Mathusic]

mihiv в сообщении #513862 писал(а):

Смысл есть,потому что,например,должны выполняться неравенства:$\dfrac 1{4\pi }\leq S_{min}\leq \dfrac 14+\dfrac {\pi }{16}$.

Как вы получили верхнюю оценку?

[Mathusic]

ИСН в сообщении #513793 писал(а):

Есть у этого смысл или нет?

mihiv в сообщении #513862 писал(а):

Смысл есть,потому что,например

Однако, может оказаться так, что для всякой фигуры $S$, являющейся чемоданом, будет существовать чемодан, меньший по площади. Тогда предел площади будет существовать, а искомый чемодан - нет

[Руст]

По всей видимости фигура составленная равнобедреннем треугольником $A=(-\frac 12,0), B=(0,\frac 12),O=(0,0)$ и четвертью круга с центром в О с дугой BC, $C=(\frac 12,0)$ является чемоданом с минимальной площадью $S_{min}=\frac{1}{8}+\frac{\pi}{16}.$

[mihiv]

Очевидно,что кривая длины $l$ накрывается окружностью радиуса $\dfrac l2$.Поэтому две половины кривой длины 1,накрываются двумя окружностями радиусов $\dfrac 14$.Эти окружности перекрываются или в крайнем случае касаются.Чтобы фигура была выпуклой проведем две касательные к окружностям.Полученная фигура имеет наибольшую площадь,когда окружности касаются.Отсюда получаем верхнюю оценку $S_{min}<\dfrac 14+\dfrac {\pi }{16}$.
Как существенно улучшить эту оценку,например,до той,которую привел Руст,неясно.

[Nemiroff]

Что-то вы перебрали со сложностью.
http://en.wikipedia.org/wiki/Moser%27s_worm_problem
http://arxiv.org/abs/math/0701391