Функциональный Анализ: органиченность оператора в Lp

[aram_walker]

Помогите разобраться с задачей
Доказать что оператор интегрирования в $L_p[0,1]$ ограничен
оператор имеет такой вид $(Ax)t = \int \limits_0^tx(s)ds$ где х(s) функция из $L_p[0,1]$ $p \in [1,\infty]$

[Dan B-Yallay]

Определение нормы оператора.
Upd. Даже проще:

$$||A(x)||_{L_p}=?$$

[Whitaker]

Нужно было ходить на лекции Хелемского А. Я.

[aram_walker]

ну и почему $ \int _0^1 ( \int _0^t x(s) ds )^pdt < c $?????

[Dan B-Yallay]

aram_walker в сообщении #519102 писал(а):

ну и почему $ \int _0^1 ( \int _0^t x(s) ds )^pdt < c $?????

Нипочему. То, что Вы тут написали - просто неверно.


Еще раз:

$$\begin{align} \|A(x)(t)\|_{L_p}&=\sqrt[p]{\int_0^1|A(x)(t)|^pdt}=\sqrt[p]{\int_0^1\Big|\int_0^t x(\xi)d\xi \Big|^pdt}\\ &\leqslant \sqrt[p]{\int_0^1\Big(\int_0^t |x(\xi)|d\xi \Big)^pdt}\\ &\leqslant \sqrt[p]{\int_0^1\Big(\int_0^1 |x(\xi)|d\xi \Big)^pdt}\\ & \ldots \end{align}$$

Попробуйте дальше самостоятельно (с использованием неравенства Йенсена.)

[aram_walker]

Почти понял.Зачем йенсен? Интеграл константа, выносим за знак интеграла по $dt$ и получаем Lp норму вектора х,нет?


ПЫ СЫ Понял свою ошибку, так мы бы получили под интегралом x(s) степени 1 а не стпени p.

[ewert]

aram_walker в сообщении #519025 писал(а):

Доказать что оператор интегрирования в$Lp[0,1]$ ограничен

Он ограничен как оператор из $L_p[0,1]$ в $C[0,1]$ -- и уж тем более как оператор из $L_p[0,1]$ в $L_p[0,1]$.

(подразумевается известным, что $L_1$-норма подчинена любой $L_p$-норме в случае любой ограниченной области, и это есть следствие неравенства Гёльдера, а никакого не Йенсена)

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #519154 писал(а):

($L_1$ -норма подчинена любой $L_p$ -норме в случае любой ограниченной области, и это есть следствие неравенства Гёльдера, а никакого не Йенсена)

Ув. ewert
Вроде никто и не утверждал, что подчинение норм есть следствие неравенства Йенсена.

Считаете ли Вы принципиально неверным предложенное решение данной конкретной задачи через неравенство Йенсена или же просто указываете более элегантный путь к результату?
PS Подразумевать можно многое, если есть для этого основания.

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #519183 писал(а):

Считаете ли Вы принципиально неверным предложенное решение данной конкретной задачи через неравенство Йенсена

Не считаю, я его просто не читал, мне это показалось ненужным. Поскольку с самого начала бросается в глаза цепочка неравенств:

$\|Ax\|_{L_p}\leqslant\mathrm{const}\cdot\|Ax\|_{C}\leqslant\mathrm{const}\cdot\|x\|_{L_1}\leqslant\mathrm{const}\cdot\|x\|_{L_p}.$