Сколько солдат в полку?

[Ktina]

В полку n солдат (будем считать, что все они - китайцы, потому что их у нас много будет).
Для каждого натурального $m\le 7$ если построить этих солдат в шеренги по m, то останется m-1 лишних солдат.
Также известно, что n является десятичным палиндромом.

а) Найти наименьшее возможное значение n.
б) Доказать, что n может принимать бесконечно много значений.

[Shadow]

НОК(2;7)=420 т.е число $420k-1$ палиндром. Начинается (и заканчивает) на 9. И если его увеличит на 1 и поделить на 10 получится кратное 42. Т.е ищем чисел, делащиеся на 42 вида
91X2
93X4
95X6
97X8
где Х - тоже палиндром.
Наименьшее - второе при X=2. T.e искомое число 93239.
б) Если числа последнего вида заполнить $7n-2$ нулями, получится кратное 7, а значит и 42.
Наименьшее такое 970000079.

Дык какая то. Не нравится такое доказательство.

[Dave]

Shadow в сообщении #518651 писал(а):

Дык какая то. Не нравится такое доказательство.

Зачем же так скромничать? Очень хорошая идея, только нулей должно быть не $7n-2$, а $6n+5$.

[Shadow]

Дык (по крайней мере для меня) искать $97.10^k \equiv -1 \mod 7$ И есетествено, перепутал. И что наверное можно и легче.

-- 22.12.2011, 23:26 --

И надо было догадатся, что 97 как раз подходит, и по дикому признаку делимости на 7 (сгрупироват цифр на тройки и последовательно етих троек складывать и вычитать) 6n нулей подходят, и заменив последную 0 на 8 получится $6n-1$ нулей

[Shadow]

За доказательства б) лучше подходят палиндромы вида $999...a...999$ (которых проигнорировал).
Напр. 9995999, 99999899999. $+6k$ девятки