Посчитать вычеты в особых точках

[Vlad1992]

Необходимо посчитать вычеты во всех особых точках функции
$z\cdot\exp(\frac{1}{z-1})$
как я понимаю особые точки тут это бесконечность и 1, так?

[SpBTimes]

да

[Nemiroff]

Vlad1992 в сообщении #517209 писал(а):

Необходимо посчитать вычеты во всех особых точках функции
$z\cdot\exp(\frac{1}{z-1})$
как я понимаю особые точки тут это бесконечность и 1, так?

Ну допустим. А как вы это получили?

[Vlad1992]

ну при 1 экспонента не существует а бесконечность всегда особая...

-- Пн дек 19, 2011 19:53:05 --

но как я понимаю 1 это существенно особая точка, а бесконечность полюс первого порядка, так?

[Nemiroff]

Vlad1992 в сообщении #517308 писал(а):

ну при 1 экспонента не существует а бесконечность всегда особая...

Хм, а если у меня функция $f(z)=e^\frac{1}{z^2}$?

Цитата:

-- Пн дек 19, 2011 19:53:05 --

но как я понимаю 1 это существенно особая точка, а бесконечность полюс первого порядка, так?

Расскажите, как получили.

[Vlad1992]

если мы считаем предел, то при стремлении к единице экспонента не существует, а при стремлении к бесконечности получаем бесконечность в первой степени, значит полюс первого порядка. Но у меня тут трудности как разложить функцию в ряд в окрестностях бесконечности?

[Nemiroff]

Vlad1992 в сообщении #517539 писал(а):

если мы считаем предел, то при стремлении к единице экспонента не существует, а при стремлении к бесконечности получаем бесконечность в первой степени, значит полюс первого порядка. Но у меня тут трудности как разложить функцию в ряд в окрестностях бесконечности?

Ну как: по степеням $1/z$
Ну вот допустим было бы у вас $\frac{z^2}{z+1}$
Тогда

$$\frac{z^2}{z+1}=z\frac{1}{1+\frac1z}=z\sum\limits_{i=0}^\infty (-1)^i \frac1{z^i}$$

Коэффициент при $1/z$ здесь $1$, а вычет, соответственно, $-1$.
А свой пример сами считайте.

[Vlad1992]

но у меня же вроде разложить нужно не в окрестности 0, а в окрестности 1, то есть должна быть скобка (z-1) так?

-- Вт дек 20, 2011 15:47:10 --

а в случае бесконечности тоже вроде в ряд придется раскладывать((, так?

[Nemiroff]

Vlad1992 в сообщении #517635 писал(а):

но у меня же вроде разложить нужно не в окрестности 0, а в окрестности 1, то есть должна быть скобка (z-1) так?

-- Вт дек 20, 2011 15:47:10 --

а в случае бесконечности тоже вроде в ряд придется раскладывать((, так?

Вообще-то, я написал разложение в окрестности бесконечности.

[Vlad1992]

так, а как мне разложить по степеням 1/z ведь при стандартном разложении экспоненты в ряд вылезают степени $\frac{1}{z-1}$?

[Nemiroff]

Посмотрите на мой пример внимательно.

[Vlad1992]

так я посчитал в точке 1, у меня вычет получился равен $\frac{3}{2}$, но в бесконечности я реально что-то туплю, по стандартному разложению я получаю $z\cdot \sum^{\inf}_{k=0} {\frac{1}{(z-1)^k \cdot k!}}$ ,что тут можно сделать дальше?

[Nemiroff]

Зачем вы раскладываете по $\frac{1}{z-1}$, разложите по $\frac1z$. Ну посмотрите на мой пример, там тоже в знаменателе полином.

Либо воспользуйтесь теоремой о вычетах, если в единице посчитали.

[Vlad1992]

но в вашем примере нет экспоненты, я не понимаю как у экспоненты прийти к показателю $\frac{1}{z}$?

[Nemiroff]

А вы не пробовали сперва раскладывать степень, а потом уже саму экспоненту?

Вы по $z$ ее можете разложить? Можете сделать замену и разложить затем по $z$.