Вопрос по ТАУ - жорданова форма

[Anitik]

Добрый день!
В составе курсовой работы по ТАУ есть вопрос - построить передаточный процесс с использованием жордановой формы матрицы А (система описана в пространстве состояний)

Матрица А такая:

A=[-1.2 0 0; 1 0 0;0 0.03 -0.85]

Воспользуемся помощью Матлаба (но ручной пересчет подтверждает): [S,J]=eig(A), получаем:

J= [-0.85 0 0; 0 0 0; 0 0 -1.2]

Как видно, det(J)=0, а значит нельзя посчитать 1/J, что требуется для получения передаточного процесса.

Подскажите, пожалуйста, что с этим делать? Т.е., получается, нельзя построить передаточный процесс с использованием жордановой формы? Или для случая нулевого корня (нулевых корней) есть какой-то хитрый ход?
Спасибо!
С уважением, Анита

[Anitik]

извините, речь в предыдущем сообщении шла не о передаточном процессе, а о переходном

[мат-ламер]

Поясните, что у Вас обозначено через S, а что через J. У меня подозрение, что переходной процесс - это решение дифференциального уравнения, которое можно выразить через матричную экспоненту, которая в свою очередь вычисляется через жорданову форму.

[Anitik]

спасибо за ответ!

J - жорданова форма матрицы А

J= (1/S)*A*S

относительно матричной экспоненты Вы совершенно правы. В случае нулевых начальных условий и внешнего воздействия в виде функции Хевисайда переходный процесс будет выглядеть следующим образом:

y(t)=C*S*(expm(J*t)-E)*(1/J)*(1/S)*B

как видите, в уравнении участвует сомножитель 1/J, который я не могу посчитать в случае, если det(J)=0

[мат-ламер]

Никогда с таким не сталкивался. Предложу свою идею. Вместо того, чтобы рассматривать систему из трёх уравнений, будем эти уравнения рассматривать по очереди. Сначала разберёмся с первым уравнением, и построим переходный процесс для $x_1$. Затем, разберёмся со вторым уравнением, и далее, с третьим. Но это выглядит "кустарно". Может кто предложит более научный подход, который скорее всего имели в виду авторы задачи.

[ewert]

Anitik в сообщении #518789 писал(а):

В случае нулевых начальных условий и внешнего воздействия в виде функции Хевисайда переходный процесс будет выглядеть следующим образом:

y(t)=C*S*(expm(J*t)-E)*(1/J)*(1/S)*B

как видите, в уравнении участвует сомножитель 1/J

Во-первых: а что это, собственно, такое -- функция Хевисайда?... Ведь воздействие на систему -- векторное, так что говорить можно лишь о функции Хевисайда, умноженной на некоторый вектор $\vec h$.

Во-вторых, почему бы не записать всё это грамотно:

$\vec y(t)=(e^{At}-E)\,A^{-1}\vec h$.

Фактически это означает, что $\vec y(t)=(e^{At}-E)\vec x$, где $\vec x$ -- решение системы $A\vec x=\vec h$. Если бы матрица $A$ была невырожденной, то всё ровно так и было бы. Но поскольку она вырождена, решения в таком виде, естественно, не существует. Т.е. существовать может, но лишь тогда и только тогда, когда вектор $\vec h$ принадлежит образу матрицы $A$. Если же не принадлежит, то появляется некоторое линейно растущее со временем слагаемое, т.е. установившегося решение, собственно говоря, и не будет (что и естественно -- ведь это случай резонанса с нулевым собственным числом).

Фактически дело обстоит так. Надо разложить $\vec h$ в сумму $\vec y+\vec z$, где $\vec y$ принадлежит образу матрицы $A$ и $\vec z$ -- её ядру, т.е. является собственным вектором, отвечающим нулевому собственному числу (это делается однозначно). Затем взять в качестве $\vec x$ какое-либо решение системы $A\vec x=\vec y$ (эта неоднозначность на окончательный результат не повлияет). Тогда решение будет выглядеть так:

$\vec y(t)=(e^{At}-E)\vec x+t\,\vec z$.

Но так просто всё лишь потому, что нулевое собственное число простое (и, соответственно, его жорданова клетка тривиальна). Если же ноль был бы кратным собственным числом, то общая идея сохранилась бы, но технически всё было бы сложнее.

[Anitik]

ewert, благодарю за ответ!
Не могли бы Вы расписать данную схему для случая кратного нулевого корня?

Спасибо!

[ewert]

Смотря что за кратность.

Если геометрическая кратность нулевого собственного числа (т.е. размерность ядра) совпадает с его алгебраической кратностью, то всё вышенаписанное остаётся в силе. Но вот если геометрическая кратность ниже (т.е. если для $\lambda=0$ есть нетривиальные жордановы клетки) -- то появляется некоторое занудство.

Там так. Всё пространство распадается в прямую сумму корневых подпространств, каждое из которых отвечает одному из собственных чисел. И для ненулевых с.ч. соотв. корневое подпространство является, естественно, частью образа матрицы (под "матрицей" я тут понимаю, разумеется, оператор умножения на матрицу). А вот для нулевого с.ч. -- несколько хитрее.

Там корневое подпространство оказывается прямой суммой т.наз. "циклических" подпространств, каждое из которых натянуто на "циклическую цепочку" $\{\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_r\}$, где $\vec e_k=A\vec e_{k+1}\ (\forall k>0)$ и $A\vec e_1=\vec0$, т.е. $\vec e_1$ является одним из собственных векторов, отвечающих нулевому собственному числу. Именно эта цепочка векторов и порождает соотв. жорданову клетку.

Так вот: для каждой такой клетки все циклические векторы принадлежат образу матрицы, кроме "основания цепочки" $\vec e_r$ -- он образу не принадлежит.

Так вот. Надобно представить вектор правой части дифура как $\vec h=\vec y+\vec z$, где $\vec z$ есть комбинация оснований циклических цепочек по всем жордановым клеткам, отвечающим нулевому собственному числу, а $\vec y$ -- комбинация всех оставшихся циклических векторов по всем вообще цепочкам (в т.ч. и для ненулевых с.ч.). Тогда $\vec y$ порождает ровно такое же решение, как и было описано выше. А любой $\vec e_r$ из того разложения $\vec z$ в правой части порождает компоненту решения вида

$\sum\limits_{k=1}^r\vec e_k\sum\limits_{j=1}^{r-k+1}\dfrac{t^j}{j!}$

(нетрудно видеть, что это будет решением с учётом цикличности, если я чего с индексиками не напутал).

[Anitik]

ewert, сердечно Вас благодарю!