Как во времена Непера составляли таблицы логарифмов?

[dk-dw]

Меня мучает этот вопрос.
В те времена не было даже функций. Но я уверен что был какой-нибудь изящный способ по которому вычисляли логарифмы и составляли по ним таблицы. Знаю одно - их вычисляли не в лоб. Вот решил спросить на форуме.

[gris]

Цитата:

Все таблицы логарифмов до 1950 г. являлись перепечаткой или сокращением таблиц Бриггса. Генри Бриггс (1561-1630) с очень большой точностью (16 знаков после запятой) извлек подряд 57 квадратных корней из 10 и получил значения $\sqrt {10}; \sqrt [4] {10}; \sqrt [8] {10}; \sqrt [16] {10}...$.
Комбинируя эти значения, он получил густую сетку чисел с известными десятичными логарифмами: и т.п. После этого десятичный логарифм любого числа $x$ из промежутка $[1;10]$ с хорошей точностью находится округлением до ближайшего известного.
Это огромная работа, и за 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы ее. Немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550 – 1617).

Есть очень интересные рассказы на эту тему. Люди были удивительно работоспособными.

[dk-dw]

gris
А откуда цитата? Думаю там может будет еще чего интересного почитать.

[Munin]

gris в сообщении #517792 писал(а):

Это огромная работа, и за 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы ее. Немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550 – 1617).

Вообще-то несправедливо не упомянут Кеплер.

[gris]

Вчера ответил наспех. Да, с таблицами логарифмов связано несколько имён. Непер и Кеплер упоминаются в школе, а Генри Бриггса забывают :)
Приведённая цитата дословно размножена в инете и найти её несложно.
Я, впрочем, не о самих логарифмах, а именно о способе их вычисления. Тут два подхода.
Первый — взять некое чуть большее 1 число и вручную возводить его в натуральные степени с определённой точностью. Обратная таблица будет таблицей логарифмов по этому основанию.
Второй, по которому пошёл Бриггс, основывается на степенях 10. Но не только целых, а ещё и дробных. Школьный алгоритм вычисления квадратного корня с любой точностью был уже известен. Сетка Бриггса была более плотной.
Работа была адская, конечно. Попробуйте гусиным пером на пергаменте перемножить два двадцатизначных числа Хотя тогда уже использовались счёты и наёмные счётчики. Но это уже апокрифично.

[Евгений Машеров]

Непер использовал число 1.0000001 и возводил его в последовательные степени. Таким образом он получил таблицу $e^x$, от которой и перешёл к таблице натуральных логарифмов.
Константа e была, таким образом, заменена на приближение $1.0000001^{10000000}=2.718281693...$
что оказалось достаточным с практической точки зрения.

[hurtsy]

Евгений Машеров в сообщении #517954 писал(а):

достаточным с практической точки зрения

Не посчитайте занудством, можно увидеть таблицу изменения этой "практической" точности по векам с 16 по 21? А конкретно, меня интересует, сколько знаков использовал граф-артиллерист,участник севастопольской компании, "Севастопольские рассказы", в свое время заваливший все учебные планы МГУ, включая математику. С уважением.

[Munin]

gris в сообщении #517942 писал(а):

Попробуйте гусиным пером на пергаменте перемножить два двадцатизначных числа Хотя тогда уже использовались счёты и наёмные счётчики.

Как раз вычисления с цифрами на бумаге (или на грифельной доске) вытесняли вычисления на счётах. По крайней мере, для умножения они удобней (не говоря об извлечении корней). А насчёт производительности - никто и не говорит, что Бриггс это за сутки сделал. И даже за год.

[arseniiv]

А я как-то логарифмическую линейку из бумаги сделал и размечал. С погрешностями черчения и глаза. В итоге, некоторые деления друг к другу не подходили, когда должны были, но всё равно красиво было.

[Евгений Машеров]

Юнкер Лёва, скорее всего, довольствовался четырьмя действиями арифметики, в должности командира взвода больше и не надо.
Хотя работы генерала Маиевского по пристрелке с использованием теории вероятностей это как раз этот период, но это не его уровень компетенции.
А вот у барона Вега в его семизначных таблицах (конец 40-х гг. XIX века) уже ошибки в седьмом знаке нет. Хотя для инженерных работ такая точность и избыточна.
Как считали? Непер, Бриггс и другие (Лудольф ван Цейлен, скажем, который 35 знаков $\pi$ вычислил) считали самолично, иногда с учеником "в две руки", то есть второй вычислитель делает то же, и результаты сверяют (а иногда и дублёра не было, но тут был риск ошибок, скажем, Шенкс вычислил $\pi$ с точностью 707 знаков, но ошибся, и лишь 527 были верными; 20 лет трудился). Наёиные счётчики - это позднее. Франция, XVIII век - "многопроцессорные компьютеры на парикмахерах". В связи с переходом на метрическую систему (а на неё и в угловой мере перешли) понадобился расчёт тригонометрических таблиц, а также таблиц для артиллерии и инженерного дела. На верхнем ярусе были профессиональные математики (Лагранж в том числе), на промежуточном - студенты, человек 20, вычислявшие опорные значения и контролировавшие работу, нижний уровень - вычислители, интерполировавшие для промежуточных значений аргумента (парикмахеры - потому, что по случаю Революции пышные причёски стали опасны для жизни, могли укоротить вплоть до шеи, и безработные парикмахеры нанимались в вычислители задёшево). А вот часть таблиц барона Вега посчитана в уме - к нм привлекли "артиста-математика", то есть эстрадного вычислителя, получилось удачно, но таких артистов на все таблицы не хватало. Ну и первые компьютеры - разностная машина Бэббеджа, она как раз для этого (кстати, её всё же построили, хотя после смерти Бэббеджа и в упрощённом виде, не 7, а 5 рядов разностей, и даже серией в 2 машины). Считали на бумаге (или на грифельной доске), если бы счёты были бы для умножения хоть наполовину так удобны, чем для сложения, логарифмы бы не изобрели.