Простая задачка по линалу (линейная зависимость)

[Nimza]

Пусть $x_1, ..., x_n$ --- линейно независимые координатные столбцы из $\mathbb{R}^n$. Определим $X_{ij} = x_i x_j^T$. Нужно показать, что ранг системы $\{X_{ij}\}_{i<j}$ есть $n(n-1)/2$, то есть что эти элементы все линейно независимы. Очевидно, что подсистемы с общим индексом линейно независимы (всё сводится к линейной независимости отдельных векторов). А вот что делать со всей системой в целом?

[Sonic86]

(вариант, но я не уверен)

$x_1,\ldots ,x_n$ - линейно независимы, тогда они - базис $L$, а $X_{ij}$ - это тогда базис тензора $L \otimes L^T$, а он линейно независим. Или я ошибаюсь? Или это нельзя использовать?

Можно попробовать доказать по индукции по числу элементарных преобразований, приводящих матрицу координат векторов $x_i$ к единичной. Хотя это, скорее всего, худший вариант...

[Padawan]

Nimza в сообщении #517333 писал(а):

$X_{ij} = x_i x_j^T$.

Как это понимать? Поясните.

[bot]

(Оффтоп)

Я тоже не сразу врубился - столбец слева, строка справа, получаем кучу квадратных матриц $n\times n$.

[Nimza]

Padawan в сообщении #517547 писал(а):

Как это понимать? Поясните.

Квадратные матрицы, как заметил bot.

Sonic86,
с тензорами что-то не очень понял.

[Nimza]

Задача решена.

[Sonic86]

Nimza в сообщении #517672 писал(а):

Задача решена.

И как же?

[Nimza]

Пусть $X = [x_1|...|x_n]$. Предположим линейную зависимость матриц и умножим их линейную комбинацию слева и справа на $X^{-1}$. Получим линейную комбинацию матриц, состоящих каждая из всех нулей кроме одной позиции с единичкой.