3 задачи (анализ и теория вероятностей)

[4arodej]

Доброе время суток!

1) Какая формула может помочь вычислить объём тела вращения вокруг $Oy$ графика функции $y=f(x)$. Затруднительно получить $f^{-1}(y)$

2) В шкафу $n$ пар носков. Из них случайно выбиают $2r (2r<n)$ носков. Какова вероятность, что среди выбранных носков будет ровно $3$ пары?

3) На плоскости проведенны параллельные прямые? расстояния между которыми $a+\frac12$ и $4a$ поочередно на плоскость наудачу кидают круг радиусом $a+\frac12$. Какова вероятность того, что круг не пересечет ни одну линию?

[Brukvalub]

4arodej писал(а):

Какая формула может помочь вычислить объём тела вращения вокруг $Oy$ графика функции $y=f(x)$. Затруднительно получить $f^{-1}(y)$

Если функция $y=f(x)$ определена на отрезке

\[ [a\;;\;b]\;,\;a > 0 \]

, то объём тела вращения вокруг $Oy$ графика функции $y=f(x)$ равен

\[ V = \int\limits_a^b {2\pi x\left| {f(x)} \right|} dx \]

Другие две задачи по теории вероятностей являются стандартными упражнениями, поэтому хотелось бы сначала увидеть плоды ваших усилий по их решению.

[4arodej]

По поводу задачи 3:

достаточно рассмотреть лишь полосы между 3-мя прямыми. А круг можно заменить (в силу его симметрии ) на отрезок длиной $2a+1$. Тогда вероятность равна: $P=\dfrac{4a-(2a+1)}{4a+a+\frac12}$

[Brukvalub]

Верно.

[4arodej]

А что можете предложить на вторю задачу?

[Brukvalub]

Могу предложить проверить Ваше решение

[4arodej]

ну хоть подскажите ТВ -- не моя специализация...

[Brukvalub]

Воспользуйтесь классическим определением вероятности для конечного числа равновероятных исходов: подсчитайте число благоприятных вашему событию вариантов выбора и поделите его на общее число возможностей.

[RIP]

По-видимому, задача 2 на обобщенную формулу включения-исключения, а именно: при $1\leqslant k\leqslant n$

$$P\{\text{произошло ровно $k$ событий из $A_1,A_2,\ldots,A_n$}\}=\sum_{m=k}^n(-1)^{m-k}\binom mk\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_m\leqslant n}P(A_{i_1}A_{i_2}\ldots A_{i_m})$$