Прямоугольный треугольник

[Trius]

Помогите найти углы прямоугольного треугольника, если его центроид лежит на окружности, вписанной в треугольник

[Руст]

Можно считать один катет 1, другой х. Легко находится радиус вписанной окружности $r=\frac{x}{1+x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+x-\sqrt{1+x^2}}{2}$. Отсюда легко выражается ваше условие $(\frac 13 -r)^2+(\frac x3 -r)^2=r^2$. Учитывая, что по найденному r удовлетворяет ещё уравнению $2r^2-2r(1+x)+x=0$ получается возвратное уравнение четвёртой степени относительно x (тангенса одного из углов):
$16x^4-48x^3+41x^2-48x+16=0$. Отсюда получается $x+\frac 1x =\frac{3+3\sqrt 3 }{4}.$ Это даёт $x=\frac{3+3\sqrt 3 \pm \sqrt{18\sqrt 3 -28}}{8}.$

[незваный гость]

Это уже более похоже на правду. Но у меня получилось $x+\frac 1x =\frac{6+3\sqrt 3 }{4}$. И, соответственно, $x=\frac{6+3\sqrt 3 \pm \sqrt{36\sqrt 3 -1}}{8}$.

[Руст]

Да, вы правы. В арифметике я слаб.

[Trius]

тоесть треугольников, которые удоволетворяют условие, 2??
прикольно, спасибо огромное

[Руст]

Треугольник один, острых углов 2.

[Trius]

все, я разобрался, еще раз спасибо!

[Darv]

[quote="Руст"]

Отсюда легко выражается ваше условие $(\frac 13 -r)^2+(\frac x3 -r)^2=r^2$.

Каким образом и откуда ?

[Руст]

Представьте, что ввели систему координат с началом на прямом угле, катеты по оси х длины 1 и длины х по оси у. Тогда центр треугольника есть ((0,0)+(1,0)+(0,x))/3=(1/3,x/3), а центр окружности естественно находится в точке (r,r). Так как центр треугольника лежит на этой окружности, получаем эту формулу.

[Darv]

Спасибо, Руст!