Иррегулярности в распределении простых чисел.

[Руст]

Пусть k неотрицательное целое число, a - положительное действительное число. Докажите, что существуют бесконечно много натуральных n, что в интервале X(n): $X(n)=(n,n+aln (n))$ существует ровно k простых чисел при ограничениях:
1) $k<a<2k+1$,
2) $k<a$,
3) без ограничения.
Комментарий. 1) означает возможность уменьшения плотности до двух раз от ожидаемого, 2) уменьшится сколько угодно раз, 3) как уменьшится, так и увеличится в сколько угодно раз, только решения этой части я не знаю.

[student]

Поправляю.
$X(n)=(n,n+a\ln (n))$
Или не так?

[Руст]

Да так.

[RIP]

Интересно, что можно использовать при решении. Например, вот это можно считать решением п.2? (при $a>k-1$)
Обозначим $f(n)$ - количество простых чисел на интервале $X(n)$. Тогда $f(n)\in\{0;1;2;\ldots\}$ и $f(n+1)-f(n)\in\{0;\pm1\}$ при $n>n_0$.
Известно, что $f(n)=0$ для бесконечного множества $n$ (точнее, что $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=+\infty$). Поэтому достаточно показать, что найдется бесконечно много натуральных $n$ таких, что $f(n)\geqslant k$. Пусть $x$ - большое натуральное число. Положим $a_0=x,\ a_{n+1}=\lfloor a_n+a\ln a_n\rfloor-1$. Пусть $N$ - наиб. натуральное число такое, что $a_N<2x$. Тогда $N\sim\frac{x}{a\ln x}$, на полуинтервале $(a_0;a_N]$ количество простых $\sim\frac{x}{\ln x}$, поэтому найдется полуинтервал $(a_l;a_{l+1}]$, на котором по крайней мере $a(1+o(1))>k-1$ простых, т.е. не меньше $k$, а тогда $f(a_l)\geqslant k$.

[Руст]

RIP писал(а):

Известно, что $f(n)=0$ для бесконечного множества $n$ (точнее, что $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=+\infty$).

Именно в этом соль задачи.

[RIP]

Пусть $\Delta_n=p_{n+1}-p_n$ ($p_n$ - n-е простое). Доказать, что для любого $k\in\mathbb N$

$$\limsup_{n\to\infty}\min\{\Delta_n,\Delta_{n+1},\ldots,\Delta_{n+k-1}\}=\infty.$$