Задачка на статику

[arseniiv]

Где-то стоит прямоугольно-параллелепипедовидный ящик. На него с сохранением симметрии положена «обложка» массы $m$, состоящая из двух абсолютно твёрдых листов. В точку $A$ на рисунке проецируется прямая, соединяющая листы. Они могут поворачиваться друг относительно друга под любым углом. Коэффициент трения между листом и углом ящика $\mu$.



$AB = AC = l$. Между точками прикосновения обложки к ящику расстояние единичное.

Найдите диапазон углов $\alpha$, при которых конструкция устойчива.

[arseniiv]

Не думаю, что решал правильно, но получилось $\alpha = \arctg\sqrt{l - 1}$. Подталкивает к выводу о неправильности отсутствие $\mu$. Отсутствие $m$ ещё как-то можно объяснить… (Труднее объяснить, с чего я вчера решил, что она влияет на ответ.)

-- Ср дек 14, 2011 23:40:08 --

Да, не очень олимпиадно вышло.

Моим допущением, когда решал, было, что сила реакции ящика направлена перпендикулярно листу. Не очень понимаю, как на самом деле.

[Circiter]

Я когда увидел вашу задачку, просто в уме соотнес силу вдоль листа (смещающая сила) и перпендикулярно оному (трение), но так как в обоих этих компонентах учитывается масса, то она сокращается и должно остаться лишь (не)равенство между синусом и косинусом, наверное что-то вроде $\mu\cos\alpha\geqslant\sin\alpha$. Воть. Решать не стал именно из-за путаницы с массой. Оказывается и у вас она не понадобилась. :) Но сверх того я же ещё и про длину листов забыл (кстати, зачем она вообще тут?), так что даже не знаю как это всё решается. Также неясно как правильно рассчитывать силу трения на углах (я тоже полагал, что углы у вас волшебные и реакция направлено нормально к листам + неучет вкладов качения и т.д. и т.п.)...

В общем, буду следить за развитием событий. :)

Кстати, как всегда здесь будет полезно протестировать формулу предельными случаями типа $\mu=1$ и $\mu=0$ когда все (от нуля до $\pi/2$, ну или лучше до асимптотического максимума при полете конька в космос) углы разрешены или запрещены, соответственно. Upd. Ой, моя подходит. :) Всё, надо опыт ставить.

[arseniiv]

Circiter в сообщении #515736 писал(а):

Но сверх того я же ещё и про длину листов забыл (кстати, зачем она вообще тут?)

Моменты разные будут, при одной относительной длине перевешивает середина, при другой — края.

[Oleg Zubelevich]

arseniiv в сообщении #515274 писал(а):

Где-то стоит прямоугольно-параллелепипедовидный ящик. На него с сохранением симметрии положена «обложка» массы $m$, состоящая из двух абсолютно твёрдых листов. В точку $A$ на рисунке проецируется прямая, соединяющая листы. Они могут поворачиваться друг относительно друга под любым углом. Коэффициент трения между листом и углом ящика $\mu$.



$AB = AC = l$. Между точками прикосновения обложки к ящику расстояние единичное.

Найдите диапазон углов $\alpha$, при которых конструкция устойчива.

Во-первых не "устойчива", а "находится в равновесии", во-вторых

В задаче не хватает ширины тумбы, на которую положенва "книжка", обозначим ее за $a$. Предположим, что центр масс пластины находится в ее середине. Тогда уравнения равновесия имеют следующий вид.

1. Равновесие сил, действующих на систему из двух пластин, в проекции на ось направленную вертикально вверх:

$$-2mg+2N\cos\alpha+2T\sin\alpha=0$$

Через $N$ обозначена составляющая реакции тумбы, перпендикулярная к пластине, Через $T$ обозначена сила трения действующая на пластину и направленная вдоль нее вверх.

2. Равновесие моментов сил действующих на левую пластину относительно точки $A$

$$mg\frac{l}{2}\cos\alpha-N\frac{a}{2\cos\alpha}=0.$$

Удобно написать $T=f N,$ где $f\in[0,\mu].$ Из всех этих уравнений находим

$$\cos^3\alpha+f\sin\alpha\cos^2\alpha=\frac{a}{l}.$$

Интересно отметить, что при каждом $f>0 $ можно так подобрать отношение $a/l$ , что это уравнение будет иметь два решения на интервале $(0,\pi/2)$

[Oleg Zubelevich]

Следует разобрать еще один случай: когда сила трения направлена вниз и первое уравнение приобретает вид:
$-2mg+2N\cos\alpha-2T\sin\alpha=0$

[hurtsy]

Oleg Zubelevich в сообщении #515869 писал(а):

В задаче не хватает ширины тумбы, на которую положена "книжка", обозначим ее за $a$.

А разве, учитывая,

arseniiv в сообщении #515274 писал(а):

Между точками прикосновения обложки к ящику расстояние единичное.

нельзя сделать вывод $a=1$? Кроме того, чтобы возникало закрывающее книжку усилие, даже при нулевом трении $AB+AC>2$. Хотелось бы видеть полную постановку этой задачи. С уважением,

[Oleg Zubelevich]

hurtsy в сообщении #521432 писал(а):

Кроме того, чтобы возникало закрывающее книжку усилие, даже при нулевом трении $AB+AC>2$

а что означает это смешное "даже"? Только при нулевом трении для "закрывающего усилия" необходимо это неравенство. при ненулевом трении положения равновесия с $\alpha\ne 0$ имеются, и при некоторых $a/l>1$. Это все следует из уже приведенных формул, если Вы , конечно, в состоянии их понять. Ломиться в открытую дверь необязательно.

[hurtsy]

Oleg Zubelevich в сообщении #521924 писал(а):

а что означает это смешное "даже"?

Это значит, Вы опять не хотите замечать, что по условию ТС $a=1$. На счет "открытой двери" мне нравится. При достаточно большом трении ломиться в открытую дверь для существа по габаритам не проходящему в наличную щель - обязательно. Ваши формулы не составляют предмет, даже , "ноу-хау", тем не менее Вы достойны новогоднего пирожка. С уважением и Новым годом!