Помогите,пожалуйста,док-ть, что пос-ть имеет предел.

[shady]

1. $x_n=\frac{2n-3}{4n+5},a=\frac12$
Док-во
$]\varepsilon>0$
$|x_n-a|=|\frac{2n-3}{4n+5}-\frac12|=|\frac{-11}{8n+10}|=\frac{11}{8n+10}<\frac{11}{8n}<\varepsilon;n>\frac{11}{8\varepsilon}$
Пусть $n_0=[\frac{11}{8\varepsilon}]+1$
Номер найтен, тем самым доказано... (не знаю как записать предел)
2.$x_n=2^{\sqrt n},a=+\text{бесконечность}$
$]\varepsilon>0 $
Оценим модуль $|2^{\sqrt n}|=2^{\sqrt n}<\varepsilon$
$log_2{2^{\sqrt n}<log_2{\varepsilon}$
$\sqrt n<log_2{\varepsilon}$
$n<{log^2}_2{\varepsilon}$
$n_0=[{log^2}_2{\varepsilon}]+1$
Номер $n_0$ найден.

[gris]

Вы правильно показали по определению, что предел последовательности равен указанному в условии числу или бесконечности (в этом случае знак неравенства меняется). Для безупречности надо сказать об эквивалентности неравенств, либо переписать из в обратном порядке.
Некоторые полезные обозначения: $\lim\limits_{x\to\infty} x_n=A;\forall; \exists $

[Legioner93]

1. Правильно.
2. Не очень понятно, что вы делали.
Ваше
$|2^{\sqrt n}|=2^{\sqrt n}<\varepsilon$
нужно заменить на $2^{\sqrt n}>\varepsilon$, а ещё лучше на $2^{\sqrt n}>\frac{1}{\varepsilon}$. И уже отсюда находите ваш $n_0$.
Уже сложилось, что за эпсилон обозначают именно бесконечно малую. И тогда утверждение "предел равен бесконечности" формализуется так "для любой (сколь угодно малой) $\varepsilon$ найдется такой $n_0$, что для всех $n>n_0$ верно $a_n>\frac{1}{\varepsilon}$

[shady]

shady в сообщении #515935 писал(а):

$x_n=2^{\sqrt n},a=+\text{бесконечность}$
$]\varepsilon>0 $
Оценим модуль $|2^{\sqrt n}|=2^{\sqrt n}>\varepsilon$
$log_2{2^{\sqrt n}>log_2{\varepsilon}$
$\sqrt n>log_2{\varepsilon}$
$n>{log^2}_2{\varepsilon}$
$n_0=[{log^2}_2{\varepsilon}]+1$
Номер $n_0$ найден.

Исправлено верно?

[Legioner93]

shady
Да.

[shady]

Если пос-ть стремиться к плюс бесконечности значит эпсилон сколь угодно большое, а не сколь угодно мало как в определении предела? Я правильно понял?

[SpBTimes]

Если вы записываете в виде $|a_n| > \frac{1}{\varepsilon}$, то $\varepsilon$ всё так же мало (ну, интересно, когда оно мало. В определении то оно любое)