Выражение высоты через стороны треугольника.

[tdayne]

Всем привет. Заступорился на задачке:
Дан треугольник ABC , найти в базисе векторов b=AB c=AC координаты высоты AH.
Наставьте на путь истинный, с чего начать здесь?

[ИСН]

Начнём с ерунды: чему равны в этом базисе координаты хоть какой-нибудь точки на стороне BC?

[tdayne]

Не пойму, ведь для всех точек на ВС будут разные координаты, как определить ту, прямая из которой в А будет высотой?

[svv]

Для точки, о которой говорит ИСН, не требуется, чтобы она была высотой. Просто координаты любой точки на BC в этом базисе.
Вам с целью объяснения заменили Ваш вопрос на другой, более простой. Он будет ступенькой в решении.

[ИСН]

Ну для всех и запишите, в общем виде. Про высоту потом.

[tdayne]

Все равно не понимаю, вообще представляю себе решение так:

Выразить сторону ВС через теорему косинусов, найти вектор перпендикулярный этой стороне, далее - АН это есть проекция AB на этот перпендикулярный вектор.

Но тогда сразу пара вопросов: $(BC)^2=(AC)^2+(AB)^2-2\cdot AB\cdot AC$ Тогда векторы исчезнут, останется только длина, а это что-то совсем не то. Можео обойтись без теоремы косинусов?

[ИСН]

От противного: допустим, обойтись без теоремы косинусов нельзя. Применим её. Получится, как Вы верно отметили, что-то совсем не то. Вывод?

-- Чт, 2011-12-15, 18:53 --

Вы как понимаете оборот "в базисе векторов b=AB c=AC"? Хоть что-нибудь в этом базисе можно выразить? Или хоть что-нибудь о нём сказать?

[tdayne]

Ну базис я понимаю так, что найдутся такие коэффициенты q, p что AH=q*b+p*c. Эти p и q и есть координаты, а как выражать , я не могу разобраться просто.

[ИСН]

Ну да, да, а всё-таки как он связан с реальностью? Выразить в нём хоть что-то... Скажем, (0,1) в этом базисе - это что?

[tdayne]

(0,1) по-моему это точка С как раз

[svv]

Значит,
$(1, 0)$ -- это точка $B$
$(0, 1)$ -- это точка $C$
И Вы ещё привели хорошую общую формулу $q\mathbf{b}+p\mathbf{c}$. Любую точку на плоскости можно задать так.

Скажите, а как надо выбирать $p$ и $q$, чтобы точка лежала где-то между $B$ и $C$, на отрезке, их соединяющем? Например, точно посередине между $B$ и $C$? Быть высотой пока не требуется.

[tdayne]

хм, видимо p и q надо выбирать не равными нулю, тогда точка будет лежать на ВС.
А чтобы была посередине p и q = $1/2$ , хотя и подозреваю что не так, ведь вектора могут быть разной длины и направлений...

[ИСН]

Подождём, пока сквозь эти подозрения прорастёт какая-нибудь уверенность.
(Да, разумеется, эти векторы могут быть разной длины. И направления у них у всех в разные стороны! Открыл клетку, а они как ломанулись...)

[Joker_vD]

А вот вообще сторона вектор $\overrightarrow{BC}$, он как-то через $\vec b,\vec c$ выражается?