Помогите найти радиус сходимости ряда

[ИСН]

Логично! (Слово "убывающей" лишнее - без него логично тоже.) Значит, если он этого не делает (не стремится к нулю), то что?

[Alexeybk5]

Тогда, по идее, последовательность сходится при $R<1$ и расходится при $R\geq1$


Получается так ?

( я почему спрашиваю, потому, что в тетради под этим номером записано, что последовательность расходится...)

[ИСН]

Что такое R и чему он равен?

[Alexeybk5]

Это радиус сходимости ряда, я его посчитал $R=1$
пользуясь формулой нахожения этого самого радиуса
$a_n=1+1/n^2$
$a_{n+1}=1+1/(n+1)^2$
ну и верхний предел от $a_n/a_{n+1} = 1$

-- 15.12.2011, 15:27 --

Alexeybk5 в сообщении #515655 писал(а):

Исследовать на сходимость ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty}(1+1/n^2)z^n$
Радиус сходимости
$R=1$

$|b_n|=\lim_{n\to\infty} (1+1/n^2)=1 \neq 0$

[ИСН]

Так. То есть он чему-то УЖЕ равен. Тогда что значат слова "последовательность сходится при R<1"?

[Alexeybk5]

И я завис
вот и мой пробел в теории...
а разве в ТФКП не говорится, что ряд сходится внотри круга сходимости, а вне его расходится ?

[ИСН]

Да. Но что такое "внутри круга сходимости"?

[Alexeybk5]

$R<1$ , разве нет?

[ИСН]

У меня есть какая-то комплексная плоскость и на ней нарисован круг с радиусом 1. У него радиус 1. Не меньше, не больше, а 1. R=1. Где внутренность? Нигде?

[Alexeybk5]

...

Ну а как же Теорема о сходимости степенного ряда ?

Положим, что имеем степенной ряд,
для числа $R\geq 0$, называемого радиусом сходимости, таком, что
$|z-z_0|<R$ ряд сходится, а $|z-z_0|>R$ ряд расходится
более того, что ряд сходится абсолютно и равномерно на диске
$A=\{z \in C |z-z_o|<R\}$

[ИСН]

Дак здесь что говорится-то? Что меньше чего? Кто на ком стоял?

[Alexeybk5]

Во, кажется не дописал в теореме последнее предложение:

"в общем случае, утверждение о сходимости может быть сделано, если $|z-z_0|=R$"
честно я скажу, я сам не фига не понимаю)))

-- 15.12.2011, 16:48 --

т.е. можно говорить, о том,что ряд сходится внутри круга сходимости, если выполняются условия Леммы Абея вейштрасса?

[ИСН]

"не"

-- Чт, 2011-12-15, 16:51 --

"не может быть сделано, если ...=..."

[Alexeybk5]

Ну так ведь это всегда мы находим радиус сходимости! Так зачем вообще говорить, что внутри него сходится ?

[ИСН]

Затем, что это правда. Внутри него (т.е. внутри круга с этим радиусом) сходится. Вне - расходится. А на границе - неизвестно.