Сходимость ряда

[mirh]

Найти все значения $\alpha$, при которых сходится ряд $\sum\limits_{i=1}^na_n$
$a_n=n\sin^\alpha (\frac1n-\arctg \frac1n)$
Используя разложение функции не получается, что делать?

[Sonic86]

Найти скорость роста выражения под синусом с помощью ряда Маклорена + воспользоваться эквивалентными бесконечно-малыми для синуса.

[mirh]

это разложить $\arctg\frac1n$ в ряд?
$n\sin^\alpha (\frac1n-\arctg \frac1n)=n\sin^\alpha(\frac1n-\frac1n+\frac1{3n^3})=n\sin^\alpha(\frac1{3n^3})$
отсюда $2\alpha>1$? так?

[Sonic86]

mirh в сообщении #515391 писал(а):

это разложить $\arctg\frac1n$ в ряд?
$n\sin^\alpha (\frac1n-\arctg \frac1n)=n\sin^\alpha(\frac1n-\frac1n+\frac1{3n^3})=n\sin^\alpha(\frac1{3n^3})$

Да, только знак не $=$, а $\sim$.

mirh в сообщении #515391 писал(а):

отсюда $2\alpha>1$? так?

Нет, но почти. Примените бесконечно-малые для синуса явно.

[mirh]

А, ошибка
$n\sin^\alpha(\frac1{3n^3}) \sim \frac n{(3n^3)^\alpha}$, отсюда $3\alpha>2$

[Sonic86]

mirh в сообщении #515394 писал(а):

$3\alpha>2$

$3\alpha>1$

[mirh]

Разве не так $3\alpha-1>1, 3\alpha>2$?

[Sonic86]

mirh в сообщении #515396 писал(а):

Разве не так $3\alpha-1>1, 3\alpha>2$?

А, точно, это уже я туплю Значит у Вас все верно.

[mirh]

Спасибо

[mirh]

А такой ряд $\sum\limits_{i=1}^\infty(\cos \frac {\pi x}n)^n^3$ исследую на абсолютную и условную сходимость.
Возьмем $q=\cos \frac {\pi x}n$. Ряд сходится абсолютно, если $\left|q\right|<1$, отсюда $\left|\cos \frac {\pi x}n\right| < 1$ выполняется для любых $x$.
Рассмотрим $\left|\cos \frac {\pi x}n\right|=1$.Значение -1 не достигается, а $\cos \frac {\pi x}n=1$, значит в $x=0$ ряд расходится.
$x\neq0$ ряд сходится абсолютно
Правильно ли я рассуждаю?

[Sonic86]

Да

[mirh]

Еще вопрос $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^2n^2}{x^4+n^4} \sin \frac nx$, если $x\in(0;1)$
Здесь признак Абеля или Дирихле не подходит, признак Вейерштрасса тоже не получется, что делать?

[recluse]

Либо с переписыванием что-то не в порядке (сумма по i, а выражение под суммой от i не зависит), либо слишком просто - если сумма по n, то ряд мажорируется абсолютно сходящимся.

[mirh]

Каким рядом?

[ИСН]

Неважно. (Таким же, только без синуса.) Это ручка от другого холодильника. Это вообще вопрос на равномерную сходимость, скорее всего, а там уже совсем другая история...