Случайный процесс, распределения.

[loldop]

Добрый вечер!
Возникла задача:
Дан процесс броуновского движения:

$\frac{dS_t}{S_t} = \mu \, dt + \sigma \, dW_t$

$W_t$ - винеровский процесс
$\mu, \sigma$ - известные мат ожидание и стандартное отклонение. (константы)


Теперь вопрос задачи:
Будет ли верным следующее:
Для моментов времени $A , B$
$S_{A} $ и $S_{B}$ распределены одинаково?

Весьма похоже, так вот:

$\Delta S_t = (\mu \, \Delta + \Sigma \, \Delta W_t)\,S_t$

Или:

$S_{t+1}-S_t = (\mu \, \Delta + \Sigma \, \Delta W_t)\,S_t$

Тогда, если начальное значение: $S_{t_0} = S_o$

$S_{T} = S_o\,(1+ \mu \, \Delta + \Sigma \, \Delta W_t)^T$

Если учесть, что $\Delta W_t = W_{t+\Delta} - W_{t} \thicksim \mathkrat{N}(0,\Delta)$, то

$S_{T} = S_o\,(1+ \mu \, \Delta + \Sigma \, \sqrt{\Delta}\,\xi)^T$

При этом $\xi \thicksim \mathkrat{N}(0,1)$

Найдем теперь соответствующие вероятности:

$\mathkrat{P}(S_T > So)$

$\mathkrat{P}(S_o\,(1+ \mu \, \Delta + \Sigma \, \sqrt{\Delta}\,\xi)^T > So) = \mathkrat{P}((1+ \mu \, \Delta + \Sigma \, \sqrt{\Delta}\,\xi)^T > 1)$

Подскажите, пожалуйста, какой дальше можно сделать финт, чтобы прийти к утверждению? ( или опровергнуть его ).
Единственное, что приходит в голову: это то, что

$\phi(\cdot) = x^T$

и подстановка в неравенство под вероятностью:

$\Xi = 1 + \mu \, \Delta + \Sigma\,\sqrt{\Delta} \,\xi$

$\mathkrat{P}(\phi(\Xi) > \phi(1))$

zhoraster:

Звездочки тут ставить не принято. В следующий раз отправлю в карантин.

[Хорхе]

В том, что Вы написали, ничего не понял, кроме вопроса. Ответ на него -- нет.

Можно написать просто, что $S_t = S_0\exp\{(\mu-\sigma^2/2)t-\sigma W_t\}$. Распределение в разные моменты времени разное.

[loldop]

А как насчет вероятности

$P(S_T > S_0) $

?
Как оценить ее поведение?
Получается так

$P(S_T > S_o) = P ( S_o exp \{ (\mu - \sigma^2/2)t - \sigma W_t \}> S_o) $

$ = P ( (\mu - \sigma^2/2)t - \sigma W_t > 0 ) $

Дальше так?
$\xi \thicksim \mathcal{N}(0,1)$

$P(\xi < \frac{(\mu - \sigma^2 / 2)t}{\sigma \sqrt{t}}) = \mathcal{F}_\xi (\frac{(\mu - \sigma^2 / 2)t}{\sigma \sqrt{t}})$

[Хорхе]

Вот есть ответ, чем он не устраивает?

[loldop]

Спасибо! Вопросов нет:)
А что посоветуете почитать по стохастическому интегрированию?

[Хорхе]

По-русски Б. Оксендала "Стохастические дифференциальные уравнения". По-английски, наверное, его же. Доступнее пока никто не написал.

[loldop]

Спасибо!
Смущают в вашей формуле для $S_t$ только знаки.
Не могли бы подробнее объяснить?
Связь с функцией в Лемме Ито и ее производными очень туманна :\
Разве все знаки не должны быть '+'?

[Хорхе]

Конечно, там перед $\sigma W_t$ плюс. ОписАлся.

[loldop]

Обращаясь к лемме Ито:
$dF(t,X_t) = [\frac{\delta F}{\delta t} + a(t,\omega)\frac{\delta F}{\delta t} + \frac{1}{2}b^2(s,\omega) \frac{\delta^2 F}{(\delta x)^2} ]dt + \frac{\delta F}{\delta t}b(s,w) dW_t$

Как в случае $S_t$ взять производную по x?
Правильно ли я понимаю, что:

$F(t,S_t) = ln(S_t)$

тогда

$F_x'(t,x) = \frac{1}{x}$

$F_xx''(t,x) = -\frac{1}{x^2}$

$F_t'(t,x) = 0 $

Но в какой точке берется эта производная?

[Хорхе]

В точке $X_t$ (она же сейчас $S_t$).

[loldop]

И при этом получается, что:

$\ln(t,S_t) = \ln ( 0, S_0) + \int_0^t{\frac{\mu}{S_s} - \frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{S^2_s} ds + \sigma \int_0^t{\frac{dW_s}{S_s}}}$

Как эти интегралы здорово схлопнулись в
$\ln(t,S_t) = \ln(0,S_0) + (\mu - \sigma^2)t + \sigma W_t$?