Трехмерное уравнение теплопроводности

[Pete[r]]

Доброго времени суток!

Есть неоднородное квазилинейное трехмерное уравнение теплопроводности:
$c(x,y,z) \rho(x,y,z) \frac{\partial u(x,y,z,t)}{\partial t} - \nabla k(x,y,z,t) \nabla u(x,y,z,t) - k(x,y,z,t) \Delta u = p(x,y,z).$

Оператор Лапласа и набла трехмерные!

Подскажите, пожалуйста, можно ли его решить экономичными схемами: стабилизирующей поправки, расщепления и пр., которые описываются у Н.Н. Яненко "Метод дробных шагов ..." для трехмерных уравнений теплопроводности?

Меня смущает наличие градиентного члена: $\nabla k(x,y,z) \nabla u(x,y,z,t)$ - не будут ли из-за этого методы расходиться?

[worm2]

Член $\nabla k(x,y,z) \nabla u(x,y,z,t)$ (назовём его $X$) похож на конвективную составляющую переноса тепла. Можно попробовать от него избавиться, найдя характеристики уравнения переноса $X=0$.

-- Пн дек 12, 2011 15:24:16 --

Кстати, то, что Вы написали — это не квазилинейное, а самое что ни на есть линейное уравнение. Не сочтите это замечание за придирку: с квазилинейным случаем (когда $c$, $\rho$, $k$ и т.п. зависят от искомой $u$) такие фокусы провернуть гораздо сложнее.

[Pete[r]]

Это я забыл прописать зависимость $c(x,y,z,t,u), \rho(x,y,z,t,u), k(x,y,z,t,u)$ от $u$ :(((((.
И что же в этом случае можно сделать?
Каких-нибудь экономичных схем для решения нет? Может подойдут всё-таки дробные шаги?

А Вы не подскажите, как потом использовать найденные характеристики в линейном случае?

[worm2]

Я бы попробовал разделить уравнение на "переносную" и "теплопроводную" части.
На каждом слое решить сначала "переносную" часть — получить приблизительные точки входа характеристик в предыдущий слой, а затем "теплопроводную", используя значения $u$ в найденных точках (как обычные значения в той же точке на предыдущем слое). Для решения уравнений переноса есть куча методов. Ну, а "теплопроводная" часть у Вас, наверное, без проблем пройдёт с Вашими.

[ewert]

Pete[r] в сообщении #514608 писал(а):

Меня смущает наличие градиентного члена: $\nabla k(x,y,z) \nabla u(x,y,z,t) $

Не смущайтесь, а запишите это в стандартной дивергентной форме:

$\vec\nabla k(x,y,z)\cdot \vec\nabla u(x,y,z,t)+k(x,y,z) \Delta u(x,y,z,t)\equiv\vec\nabla\cdot\big(k(x,y,z)\vec\nabla u(x,y,z,t)\big)$

-- именно на такой вид консервативные схемы и ориентированы. Впрочем, насколько адаптируемы к нелинейному случаю схемы переменных направлений -- сказать не могу.

Ну что навскидку приходит в голову: можно попытаться на каждом временнОм шаге для прогоночной части вычислений по соотв. переменным попытаться сделать два-три итерационных шага (для каждого следующего используя полученные на предыдущем итерационном шаге значения решения во внешних множителях). Авось да сойдётся.

[worm2]

А я и не заметил. То-то, думаю, как-то странно конвективная составляющая выписана
Pete[r], забудьте о том, что я написал. Нет у Вас никаких "градиентных членов", а есть самое что ни на есть каноническое квазилинейное уравнение теплопроводности (без конвекции).