Уравнение 4степени и тригонометрическое уравнение

[reformator]

1) Решить уравнение:

$(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)=9x^2$

(Есть только такая парочка идей:)

$2x^2-3x+1=(x-1)(2x-1)$

$(2x^2-3x+1)(2x^2-3x+1+8x)=9x^2$

$(2x^2-3x+1)^2+8x(2x^2-3x+1)=9x^2$

Что дальше делать -- не представляю... Не буду же я раскрывать скобки и решать уравнение 4 степени...

2) Решить уравнение:

$\cos(2x)+\sin(2x)+\cos x-\sin x=1$

(Тут есть такие соображения)

$(\cos(2x)+\cos x)+(\sin(2x)-\sin x)=1$

$2\sin\Big(\dfrac{2x+x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{2x-x}{2}\Big)+2\sin\Big(\dfrac{2x+x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{2x-x}{2}\Big)=1$

$\sin\Big(\dfrac{3x}{2}\Big)\cos\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=\dfrac{1}{4}=\sin\Big(\dfrac{\pi}{6}\Big)\cos\Big(\dfrac{\pi}{3}\Big)$

$$\begin{cases} \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n\\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi k\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} x=\frac{2\pi}{9}+\frac{4\pi n}{3}\\ x=\frac{\pi}{3}+4\pi k\\ \end{cases}$$

$\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{4\pi n}{3}=\dfrac{\pi}{3}+4\pi k$ $\\;\;\$ $|\cdot\frac{9}{\pi}$

$2+12n=3+36k$

$12(3k-n)=2-3=-1$

$3n-k=-\dfrac{1}{12}$

Но ведь число $3n-k$ -- должно быть целым

Какие книжки посоветуете почитать/какие сборники задач прорешать, чтобы научиться решать подобные примеры?

[Praded]

1) Далее решать уравнение $y^2+8xy-9x^2=0$

[reformator]

Praded в сообщении #514434 писал(а):

1) Далее решать уравнение $y^2+8xy-9x^2=0$

Спасибо! А как его решать?

Первое, что пришло на ум:

$y^2+8xy-9x^2=0$

$y^2+2\cdot 4x\cdot y+16x^2-16x^2-9x^2=0$

$(y+4x)^2=25x^2$

Или $y+4x=5x$ или $y+4x=-5x$

Или $y=x$ или $y=-9x$

Или $2x^2-3x+1=x$ или $2x^2-3x+1=-9x$

a) $2x^2-3x+1=x$ решаем кв. уравнение и получаем корни

б) $2x^2-3x+1=-9x$ решаем кв. уравнение и получаем корни

Так? А как быть со второй тригонометрической задачей?

[Praded]

Можно и так. А можно просто как квадратное относительно $y$.

[reformator]

Praded в сообщении #514441 писал(а):

Можно и так. А можно просто как квадратное относительно $y$.

Спасибо, первая задача - понятна! Во второй не могу найти глюк...

[Praded]

Во второй привести всё к одинарному углу и заменить единицу в соответствии с основным тригонометрическим тождеством.

[reformator]

Praded в сообщении #514450 писал(а):

Во второй привести всё к одинарному углу и заменить единицу в соответствии с основным тригонометрическим тождеством.

Спасибо! А что тем способом, которым я сделал до этого - нельзя?

$\cos(2x)+\sin(2x)+\cos x-\sin x=1$

$\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=\cos^2x+\sin^2x$

$2\sin x\cos x+\cos x-\sin x-2\sin^2x=0$

Хочется $\cos^2x$ вынести за скобки, но есть одно плохое слагаемое -- $\cos x$ -- оно мешает.

Как быть дальше?!

P.S. Ну вот... вы ушли из онлайн(

[Praded]

А если вынести $2\sin x$ ?
Задачу решИте. Сравните ответы. Сами всё поймёте.

[reformator]

Сделал немного иначе, но вроде как похоже на правду...

$2\sin x\cos x+\cos x-\sin x-2\sin^2x=0$

$\cos x(2\sin x+1)-\sin x(1+2\sin x)=0$

$(\cos x- \sin x)(1+2\sin x)=0$

Либо $\cos x- \sin x=0$

Либо $1+2\sin x=0$

1) $\cos x- \sin x=\sqrt{2}\sin\big(x-\frac{\pi}{4}\big)=0$

$x-\frac{\pi}{4}=\pi n$

$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$

2) $\sin x=-\dfrac{1}{2}$

$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k$

Правильно? Обязательно, чтобы были разные обозначения $k$ и $n$?

[mihailm]

reformator в сообщении #514458 писал(а):

...
Хочется $\cos^2x$ вынести за скобки, но есть одно плохое слагаемое -- $\cos x$ -- оно мешает.

Чего???

[Praded]

Это сейчас так учат решать уравнение 2.1) ? У нас всё сразу сводили к $\tg x=1$ .
Разные буквы обязательны.

[reformator]

mihailm в сообщении #514473 писал(а):

Чего???

Перемурил чуток)

-- 11.12.2011, 21:50 --

Praded в сообщении #514475 писал(а):

Это сейчас так учат решать уравнение 2.1) ? У нас всё сразу сводили к $\tg x=1$ .
Разные буквы обязательны.

СпасибоЁ!

Ага, чтобы не рассматривать случай, когда косинус равен нулю, ведь надо будет отсеивать потусторонние корни. Хотя тут лишних нет...Ну да ладно...Просто так быстрее)

[spaits]

$\cos{2x}+\sin{2x}+ \cos{x} -\sin{x}=1$.
$\cos^2{x}-sin^2{x}+\cos{x}-\sin{x} = \cos^2{x} +\sin^2{x}-2\sin{x}\cos{x}$.
После вынесения за скобки общего множителя $\cos{x}-\sin{x}$ получаем:
$\cos{x}-sin{x}=0$ или $\cos{x}+\sin{x}+1=\cos{x}-\sin{x}$.
Так ведь? Очень просто. $\tg{x}=1$ или $\sin{x}=-\frac{1}{2}$.
Нужна ли еще подсказка?

[Legioner93]

(Оффтоп)

reformator в сообщении #514481 писал(а):

потусторонние корни.

Они называются немного по-другому

[reformator]

(Оффтоп)

Ну так веселее зато)))

-- 11.12.2011, 22:39 --

spaits в сообщении #514486 писал(а):

$\cos{2x}+\sin{2x}+ \cos{x} -\sin{x}=1$.
$\cos^2{x}-sin^2{x}+\cos{x}-\sin{x} = \cos^2{x} +\sin^2{x}-2\sin{x}\cos{x}$.
После вынесения за скобки общего множителя $\cos{x}-\sin{x}$ получаем:
$\cos{x}-sin{x}=0$ или $\cos{x}+\sin{x}+1=\cos{x}-\sin{x}$.
Так ведь? Очень просто. $\tg{x}=1$ или $\sin{x}=-\frac{1}{2}$.
Нужна ли еще подсказка?

Не, понятно и так, спасибо! Действительно, может так и проще!