Задача на понятие меры

[kojemiaka]

Есть мера $\mu$ заданная на $\mathbb R$, снабженным борелевской сигма-алгеброй, которая удовлетворяет след. условиям:

1. для всех $x\in \mathbb R \Rightarrow \mu ({x})=0$
2. для всех $a,b \in \mathbb R, a<b \Rightarrow \mu ([a,b])<+\infty$

Вопрос: посчитать $\lim_{n\rightarrow +\infty} \mu (]\frac{-1}{n}, \frac{1}{n}[) $.

Интуитивно понятно, что чем больше мы увеличиваем $n$, тем все более сужается отрезок и в конечном итоге мы придем к нулю. Но как это доказать математически?

[SpBTimes]

(Оффтоп)

Может быть, если вкладывать ваши открытые интервалы при каждом n в наименьший замкнутый, то получится система вложенных отрезков, у которых длины идут к нулю, и будет единственная точка, являющаяся пределом? И тогда по первому св-ву будет ваш 0.

[kojemiaka]

Спасибо. Я тоже уже подумал где-то так.
Взять последовательность интервалов, показать, что каждый последующий содержится в предыдущем, значит мера каждого последующего меньше меры предыдущего.

[--mS--]

$1+\frac{1}{n+1} < 1+\frac1n$, однако это не означает, что $1+\frac1n\to 0$ при $n\to\infty$. Используйте свойство непрерывности меры (ака теорему о вложенных шарах).

[Padawan]

(Оффтоп)

Мера-то счётно аддитивная? Так, на всякий случай.

[--mS--]

(Оффтоп)

Я полагаю, что слово "мера" понимается здесь традиционным образом. Не знаю, как у ТС, а в нашем болоте, когда говорят "мера", априори имеют в виду счётно-аддитивную, да ещё и неотрицательную функцию множеств. А иначе не говорят "мера", а говорят "конечно-аддитивная мера", или, там, "заряд", или ещё как-нибудь по потребности.