Верно ли док-во.ЧМ, интеграл, полином Лагранжа

[Alexeybk5]

Дан интеграл
$ \int_{a}^{b} f(x)dx $

интеграл достаточно регулярной функции $f$.
Даны $n+1$ различные узлы
$x_0,x_1,\dots,x_n \in [a,b]$

рассмотрим следующую квадратуру

$$I(f) \approx \sum_{k=0}^{n} \alpha_k f(x_k), \alpha \in R \qquad (1)$$

Считаем, что (1) верно для полиномов степени $\leq m$, если для всех полиномов $p_m$
степени $\leq m $\; I(p_m) \tilde{I}(p_m)$

A)
Показать, что если (1) верно для полинома степени $\le n$ тогда

$$\alpha_k = \int_{a}^{b}\ell_k(x)dx$$

где $\ell_k $ является к-той функцией основания лагранжа, с узлами $x_0,\dots, x_n$


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Знаем, по условию, что
$I(P_m)=\tilde{I}(P_m)\\$

1) $P_m = \sum_{k=0}^{m}f(x_k)L_{m,k}(x)= f(x_0)L_{m,0}(x) + f(x_1)L_{m,1}(x) + \dots + f(x_m)L_{m,m}(x) $

2)$I(P_m(x)) = \int_{a}^{b}P_m(x)dx = \int_{a}^{b}\sum_{k=0}^{m}f(x_k)L_{m,k}(x)dx$

3)$\tilde{I}(P_m(x))= \sum_{k=0}^{m}\alpha_k P_m(x_k)\\$

$P_m(x) = \sum_{k=0}^{m}L_{m,k}(x)$

где

$L_{m,k}(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\dots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots (x-x_m)}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots (x_k-x_m)} $

посему следует

$P_m(x_k) = f(x_k)L_{m,k}(x_k) = f(x_k)$

$$\boxed{P_m(x) = f(x_k)}$$

4)$\Rightarrow \tilde{I}(P_m(x)) = \sum_{k=0}^{m}\alpha_k P_m(x_k) = \sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k)\\$

$\Leftrightarrow$

$$\boxed{\tilde{I}(P_m(x)) = \sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k)}$$

5)
$\tilde{I}(P_m(x)) = \sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k)$

$I(P_m(x)) = \int_{a}^{b} \sum_{k=0}^{m}L_{m,k}(x)dx\\$

$I(P_m(x)) = \tilde{I}(P_m(x))$



Из этих трёх уравнений следует, что
$\sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k)= \int_{a}^{b}\sum_{a}^{b}f(x_k)L_{m,k}(x)dx$

$\Leftrightarrow$

$$\sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k) = \sum_{k=0}^{m}[f(x_k) \int_{a}^{b}L_{m,k}(x)dx]$$

вот тут я не очень уверен, можно ли так сделать ? (Делить на $f(x_k)$)

$$\boxed{\sum_{k=0}^{m}\alpha_k = \sum_{k=0}^{m}\int_{a}^{b} L_{m,k}(x)dx}$$

и можно просто тут от сумм перейти к простому равенству ?

$$\boxed{\alpha_k = \int_{a}^{b}L_{m,k}(x)dx}$$

Что и требовалось доказать

[Alexeybk5]

в задании вместо маленького $\ell $ нужно написать L
просто уже пост не редактируется)))

-- 03.12.2011, 19:59 --
во втором пункте верно, т.к. я заменяю в интеграле не $x$ на $P_m(x)$
а заменяю $f(x)$ на $ P_m(x)$
Блин, кажется нашёл ошибку
пункт 2
при подстановке вместо $x$ полином $P_m(x)$

$I(p_m(x))=\int_{a}^{b}P_m(x) d(P_m(x)) $

я про $d(P_m(x))$ забыл (((((


как бумаете, надо переделывать ))?
и что дальше с полиномом станет, чему будет равно

$d(P_m(x)) = ?$

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #511126 писал(а):

Показать, что если (1) верно для полинома степени $\le n$ тогда

$$\alpha_k = \int_{a}^{b}\ell_k(x)dx$$

где $\ell_k $ является к-той функцией основания лагранжа, с узлами $x_0,\dots, x_n$

Это -- довольно банальный факт, доказывать его почти и не надо. Дело в том, что любой многочлен степени $\leqslant n$ является интерполяционным для самого себя по любым $(n+1)$ узлам. Поэтому и значение квадратурной формулы на нём автоматически получается интегрированием многочлена Лагранжа.

Чуть более деликатен обратный вопрос: что любая другая квадратурная формула (веса которой получены не интегрированием многочлена Лагранжа) будет менее точной. Но и в этом нет ничего сложного.

[Alexeybk5]

да, но в принципе доказательство верно? Можно такое преподу сдавать ?

п.с. а можете ещё раз про n+1 узел пояснить?

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #511373 писал(а):

да, но в принципе доказательство верно?

Не знаю -- я его не читал; оно как-то безумно длинно.

Alexeybk5 в сообщении #511373 писал(а):

а можете ещё раз про n+1 узел пояснить?

Попытаюсь (в смысле более конкретно).

По любому такому набору узлов и соотв. узловых значений интерполяционный многочлен степени эн (а точнее, не превосходящей эн) строится, как известно, однозначно. И, следовательно, если заданы узлы и узловые значения для конкретного многочлена аналогичной степени -- то такой многочлен однозначно восстанавливается по этим данным именно как интерполяционный.

По предположению, квадратурная формула точна для всех многочленов степени, не превосходящей эн. Т.е. результат её применения должен совпадать с результатом буквального интегрирования этого многочлена -- и, следовательно, с результатом интегрирования соотв. интерполяционного многочлена. Но последнее -- и есть вот та самая вполне конкретная квадратурная формула.

[Alexeybk5]

Спасибо, но всё же, как можно доказать это утверждение более строго ? ( ну то есть в "символьном виде")

-- 11.12.2011, 16:34 --

Alexeybk5 в сообщении #511126 писал(а):

Из этих трёх уравнений следует, что
$\sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k)= \int_{a}^{b}\sum_{a}^{b}f(x_k)L_{m,k}(x)dx$

$\Leftrightarrow$

$$\sum_{k=0}^{m}\alpha_k f(x_k) = \sum_{k=0}^{m}[f(x_k) \int_{a}^{b}L_{m,k}(x)dx]$$

вот тут я не очень уверен, можно ли так сделать ? (Делить на $f(x_k)$)

$$\boxed{\sum_{k=0}^{m}\alpha_k = \sum_{k=0}^{m}\int_{a}^{b} L_{m,k}(x)dx}$$

и можно просто тут от сумм перейти к простому равенству ?

$$\boxed{\alpha_k = \int_{a}^{b}L_{m,k}(x)dx}$$

Что и требовалось доказать

Потому что тут я явно мухлюю, и \то доказательство нельзя считать правильным

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #514300 писал(а):

как можно доказать это утверждение более строго ? ( ну то есть в "символьном виде")

Куда уж строже-то?... Ну хорошо.

Теорема. Квадратурная формула для $(n+1)$ узла точна для всех многочленов степени, не превосходящей $n$, тогда и только тогда, когда её веса получены интегрированием интерполяционного многочлена Лагранжа.

Доказательство.
$ Любой многочлен степени $\leqslant n$ является интерполяционным для самого себя по $(n+1)$ узлу (просто по определению интерполяционного многолена). Следовательно, интеграл от любого многочлена степени $\leqslant n$ совпадает со значением на этом многочлене интерполяционной квадратурной формулы. Т.е. интерполяционная квадратурная формула точна для любого многочлена такой степени.
$ Надо доказать: если $\{\alpha_k\}$ -- интерполяционные веса и $\{\gamma_k\}$ -- любые другие, то интерполяционная формула $\sum_k\gamma_kf_k$ неточна на хотя бы одном многочлене степени $\leqslant n$. Т.е. (поскольку интерполяционная формула $\sum_k\alpha_kf_k$, как мы уже выяснили, точна) надо доказать существование хоть одного такого многочлена $f(x)$, что

$$\sum_k\alpha_kf_k\neq\sum_k\gamma_kf_k \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_k(\alpha_k-\gamma_k)f_k\neq0.$$

Ну так достаточно взять для этого многочлен, узловые значения которого суть $f_k=\alpha_k-\gamma_k$ (точнее, $f_k=\overline\alpha_k-\overline\gamma_k$, т.к. теория, вообще говоря, комплексна). Это можно сделать, т.к. по любому вообще набору узловых значений многочлен соответствующей степени всегда однозначно восстанавливается как интерполяционный.
Ч.т.д.

[Alexeybk5]

Спасибо, всё понятно