Проблема теории чисел... на «арматурной» сетке.

[Батороев]

Хочу предложить для обсуждения одну тему по теории чисел, предварив ее вместо «пролога», задачей следующего содержания:

На квадратную (ширина равна высоте) сетку с квадратной ячеей 1*1 (назовем ее первичной сеткой), выравнивая по верхней и левой сторонам, укладываем сетку с ячеей 2*2 (вторичная сетка).
Оставшиеся видимыми после наложения вторичной сетки, пересечения прутьев первичной сетки назовем «узлами».
Верхний горизонтальный ряд и крайний левый вертикальный ряд узлов, в дальнейшем, в задаче не рассматриваются.
В оставшихся видимыми узлах можно выделить диагонали: в направлении (+45) град. - диагональ «/», в направлении ( -45) град. – диагональ «\».
Доказать, что какова бы не была величина первичной сетки и каким бы количеством сеток с ячеей s*s (где s – любое составное число) мы далее не накрывали первичную сетку, мы не сможем закрыть (сделать невидимыми) все узлы любой диагонали «/».

Примечание:
Сетки – идеальной формы, лежат на идеально ровной поверхности (т.е. подчиняется 5-му постулату евклидовой геометрии).
Левый верхний угол сетки обозначим буквой О. Этот угол может понадобиться при обсуждении.

Найти решение данной задачи в данный момент не требуется, для обсуждения темы достаточно понять ее суть, о чем она и ответить на вопрос: кто есть «ху» (сетка, узел и т.д.)?

К тем, кто мог видеть эту задачу на одном из форумов, просьба, пока воздержаться от комментариев по ее сути и дождаться начала, собственно, обсуждения
(в котором «арматурная» тематика, обещаю, будет носить лишь прикладной характер).

[Батороев]

Уверен, многие догадались, о каком таком «ху», шла речь в задаче.
Действительно, это - таблица Пифагора (ТП).
Чтобы «довести» ТП до первичной сетки необходимо продублировать верхнюю строку и левый столбец таблицы, расположив их, соответственно, выше и левее. При этом придадим им значение - «строка индексов» и «столбец индексов» чисел.

Двоичная сетка – это четные числа.

Для того, чтобы лучше понять, что такое узлы, желательно ввести параметр – показатель сложности числа A(n). Многие из тех, кого я спрашивал, отвечали, что такой параметр в математике, вроде бы, существует, но не могли вспомнить, как он называется.
Такой параметр должен иметь значения А(1)=0, А(p)=1, где р – простое число. Для составных s = p*q A(s) = A(p)+A(q) = 1+1 = 2 и т.д. По этому параметру становится видимой «исключительность» числа 1 (против невнятного – «не простое и не составное»).
Теперь ясно, что узлы, оставшиеся видимыми после наложения всех других сеток – это составные числа с показателем сложности, равным 2.

В ТП можно выделить диагонали.
Основная диагональ – это диагональ квадратов (начинается от О).
Диагонали «/», соединяющие индексы четных чисел (например, 2N-2N, где 2N – индекс числа 2n) и перпендикулярные основной (естественно, если у Вас таблица Пифагора квадратной формы), по сути своей являются отражением последовательности
$ n^2-1, n^2-2^2, n^2-3^2... n^2-(n-1)^2 $
В задаче спрашивалось: будут ли на диагоналях 2N-2N числа с показателем сложности, равным 2 (например, s = p*q, p<q, A(s) = 2)?
Допустим, что $ s = n^2-a^2 $, тогда s=( n-a)*(n+a).
Т.к. А(s) = 2, то нет других вариантов, кроме: p = (n-a), q = (n+a).
Отсюда, p+q = n-a+n+a = 2n.
Таким образом, упомянутые диагонали, вполне справедливо, можно назвать диагоналями Гольдбаха (ДГ). Наличие или отсутствие во всех этих диагоналях составных чисел с A(s)=2, свидетельствует о том, справедлива или нет гипотеза Гольдбаха (ГГ) ("Любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел не менее, чем одним способом").

Основную диагональ, в некотором роде, можно считать "отражением" числовой оси, с той лишь разницей, что роль простых на ней "исполняют" те же числа с A(n)=2.

Если выделить цветом упомянутые числа на ТП, то проблема Гольдбаха в такой интерпретации может приобрести "визуальную наглядность", которая, в свою очередь, может инициировать появление новых направлений решения ГГ.
Хочу привести в тезисах один из своих, как мне кажется, возможных вариантов:
1. Простые и псевдопростые (П+П) в ряду окончаний s-чной системы счисления (СС)(то же, что и остатки от деления)занимают строго определенные им места.
2. Такие же места определены для П+П и в ряду окончаний квадратов в той же СС.
3. Введем понятие B(n)_s - это количество простых и псевдопростых нечетных чисел в ряду
$ n^2-1, n^2-2^2, n^2-3^2... n^2-(n-1)^2 $ (1)
в s-чной СС.
4. Можно доказать лемму следующего содержания:
"Для любого четного числа 2n всегда найдется такая s-чная СС, в которой количество нечетных составных, псевдопростых по основанию s, непревышающих 2n, будет меньше B(n)_s не менее, чем на 2".

Пример 1: Рассматривая число 2n=48 в 3-чной СС, видно, что B(24)_3 = 8, а количество составных псевдопростых по основанию 3, непревышающих 48, всего 2 (25,35). Следовательно, количества этих составных недостаточно, чтобы занять все места в ряду (1), а это в свою очередь означает, что симметрично n будут расположены простые, которые в сумме и дадут число 48.
Пример 2: Для числа 2n=194 используем 210-чную СС (s=2*3*5*7=210), в которой составных псевдопростых по основанию 210, непревышающих 197, всего 4 (121, 143, 169, 187), а B(97)_210 = 6.

Далее, хотелось бы поговорить и о диагоналях («\»). И о чем будет задача, если в ней появится второй вопрос: «Доказать, что часть узлов будет оставаться видимой по всей длине любой диагонали «\»?

[Батороев]

По сюжету "пьесы" в этом месте должен был бы стоять вопрос:
Что произойдет, если точку О, по которой выравниваются сетки переместить в среднюю часть первичной сетки?
Но в виду, видимо, неактуальности темы среди присутствующих, да и чтоб не утомлять, перейду сразу в следующий "акт".
Здесь, я предлагаю сделать то, что должен был сделать Декарт, когда открыл свои координаты и "втиснул" в них, наверное, все, что мог, за исключением лишь таблицы Пифагора.
Если мы составим таблицу Пифагора в прямоугольных координатах "Х_1 - Х_2" (для наглядности оси координат выполним равными ширине столбцов и строк ТП и впишем в них индексы чисел), то обнаружим, что координаты поделили поле ТП на 4 сектора (четверти). Если принять обозначение четвертей, аналогично обозначению четвертей в тригонометрическом радианном круге, то увидим знакомую нам область положительных чисел в I четверти, чуть менее знакомую область отрицательных чисел в четверти III и не очень понятные области во II и IV четвертях.
Рискну предположить, что это области комплексных чисел, правда, сколько не вглядывался в них, не увидел там никаких мнимых чисел (может, кто-то когда-то просто неправильно посчитал кол-во корней в уравнениях: х^2=1 и х^2=(-1))
Диагонали Гольдбаха, которые мы рассмотрели выше, при перестройке ТП изменили свое направление с "/" на "\" и здесь нам придется включить свое "зеркальное" воображение.
В пределах четверти I ДГ ведут себя также, как и ранее, т.е. встречающиеся на них числа с А(s)=2 символизируют, что 2n = p +q (p,q - простые), но на продолжении указанных диагоналей, допустим, в четверти II, наша сумма простых превращается уже в разность тех же простых: 2n = p + (-q) = p-q.
В виду того, что ТП в декартовых координатах (ТПДК) симметрична относительно осей (да, и относительно 0), то диагонали в четверти I, имеющие направление "/", вполне можно назвать диагоналями В. Серпинского, который в книге "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах", стр. 17 (показана участником другого форума, который решал "арматурную" задачу) выдвинул предположение, "что для любого натурального n есть 2 простых числа, разность между которыми 2n".
Если данную проблему В. Серпинского несколько усилить приведя к формулировке: "Любое четное число можно представить в виде разности двух простых чисел, причем эта представимость бесконечна", то такая проблема будет шире проблемы классических близнецов (разность между которыми равна 2-м).
Диагональ "/" в ТПДК интересна также и с точки зрения рассмотрения арифметических прогрессий.
Таким образом, исходя из изложенного, можно заметить, что проблемы ГГ и близнецов взаимосвязаны между собою (как взаимосвязаны диагонали ТП) и решение одной из них может стать ключом к решению другой.
В плане рассмотрения этих и других вопросов теории чисел таблица Пифагора достаточно интересна и вполне может служить эффективным инструментом, обеспечивая дополнительную наглядность и облегчая восприятие задач.
В конце своего изложения, которое можно охарактеризовать словами из песни: "тихо, сам с собою, я веду беседу" хочу извиниться, что не сумел освоить вставку рисунков и показал все "на пальцах".
Но что мне не удалось бы и вовсе сделать, так это таблицу Пифагора в формате 3D (которая для нас, обитателей 3-хмерного пространства была бы, по-видимому, небезынтересной).

[Батороев]

На мой взгляд, достаточно интересно рассмотреть справедливость гипотезы Гольдбаха для примориалов.

В пределах примориала числа, кратные базовым (т.е. простым числам, произведением которых является примориал), расположены симметрично середины примориала. Количество таких чисел для примориала можно посчитать точно - по формуле:
$ M = \prod\limits_{i=2}^{p_k}*[\frac{1}{2} + \frac{1}{3}*\frac{1}{2} + \frac{1}{5}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3} +...+ \frac{1}{p_k}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{4}{5}*...*\frac{p_{k-1} - 1}{p_{k-1}}] $
Оставшиеся места, также симметричные середины П, предназначены для чисел, взаимно простых с базовыми.
Из них количество составных чисел с допустимой погрешностью можно подсчитать по формуле:
$ P = \prod\limits_{i=2}^{p_k}*[\frac{1}{p_{(k+1)}}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*...*\frac{p_k - 1}{p_k} + \frac{1}{p_{(k+2})}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*...*\frac{p_{(k+1)} - 1}{p_{(k+1)}} + ...+ \frac{1}{p_l}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*...] $,
где $ p_l = \sqrt{\prod} $



Сдается мне, что неравенство $ \prod\limits_{i=2}^{p_k} - M > 2P $ будет соблюдаться до бесконечности. Если это -так, то для примориалов гипотеза Гольдбаха похоже верна.

Не Бог весть, какой результат, но если продолжить рассмотрение с учетом сдвигов рядов указанных чисел, то может быть...

Добавлено спустя 3 дня

Как вариант, можно рассмотреть неравенство:
$ \frac{\prod\limits_{i=2}^{p_k}}{2}*[\frac{1}{p_{(k+1)}}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*...*\frac{p_k - 1}{p_k} + \frac{1}{p_{(k+2})}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*...*\frac{p_{(k+1)} - 1}{p_{(k+1)}} + ...+ \frac{1}{p_r}*\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*...] < Q $
где
$ p_r = \sqrt{\frac{\prod}{2}
$ Q = \frac{ln\prod}{\prod} - \frac{\ln\frac{\prod}{2}}{\frac{\prod}{2}} $
т.е. рассмотреть то, что количество указанных составных, непревышающих половину примориала,
меньше числа простых в диапазоне от $ \frac{\prod}{2} $ до $ {\prod} $.