Ряды Тейлора и Лорана ТФКП

[Vlad1992]

Нужно разложить в ряды Тейлора и Лорана (ТФКП):
1)В ряд Тейлора:
$\frac{1}{1+z+z^2}$ при z0=0
2)В ряд Лорана:
$\operatorname{Ln}(\frac{(z-1)^2}{(z+2)\cdot(z+3)})$ при z0=-1, D:$|z+1|>2$
3) Ряд Лорана
$\frac{1}{(z^2-1)\cdot(z^2+4)}$ при z0=0, D:$|z|>2$
Если начать с первого, я у меня что-то совсем идей нет как знаменатель представлять...только если искать мнимые корни, но опять же не понимаю что это даст....

[ИСН]

В первом умножить верх и низ на $1-z$

[Vlad1992]

тогда я получу$\frac {1-z} {1-z^3} $ а что с этим можно делать?

[ИСН]

Представьте, что у Вас есть $1\over1-z^3$. C ней знаете что можно делать?

[Vlad1992]

эм нувидимо надо вынести $-z^3$, да?

-- Чт дек 08, 2011 17:39:56 --

ну тоесть надо сравнить$z^3$ с 1

[ИСН]

Мы вроде про ряды какие-то говорили, нет?

[Vlad1992]

ну в том случае если $z^3<1 раскладывается как стандартный ряд $\frac {1} {1-q}$ где q<1

[ИСН]

ну да. вот и вся хитрость.

[Vlad1992]

так каким образом сравнивать я же про z ничего не знаю?

[Sonic86]

Vlad1992 в сообщении #512980 писал(а):

так каким образом сравнивать

что сравнивать-то?

[Vlad1992]

откуда я знаю что $z^3<1$?

[Sonic86]

Vlad1992 в сообщении #513005 писал(а):

откуда я знаю что $z^3<1$?

Соотношение $z^3<1$ в $\mathbb{C}$ бессмысленно. Осмысленно $|z^3|<1$ (его еще упростить можно). Вы можете рассмотреть случай $|z^3|<1$ и противоположный случай (вот там уже $z^3$ надо выносить).

[Vlad1992]

эм...может лучше мнимые корни найти изначального знаменателя найти? Мне же точно ряд Тейлора надо получить а он в круге....Просто я сомневаюсь что тут надо 2 случая рассматрвать...плюс даже если я разложу это в ряд, что делать с числителем?

[Sonic86]

Vlad1992 в сообщении #513020 писал(а):

эм...может лучше мнимые корни найти изначального знаменателя найти?

Нет. Ряд Лорана в области с центром если существует, то единственный. Вы найдете просто то же самое. Кроме того, модуль корней тоже равен 1.

Vlad1992 в сообщении #513020 писал(а):

Просто я сомневаюсь что тут надо 2 случая рассматрвать

Именно так. Для разложения в ряд Лорана мероморфной функции с полюсами $z_1,...,z_k,...$в точке $z_0 \neq z_j$ нужно рассматривать кольца $|z_k-z_0|<|z-z_0|<|z_{k+1}-z_0|$.

Vlad1992 в сообщении #513020 писал(а):

плюс даже если я разложу это в ряд, что делать с числителем?

Пусть $f(z)$ и $g(z)$ разложены в ряды Лорана. Как найти разложение в ряд Лорана $f(z) \cdot g(z)$ в той же точке?

[Vlad1992]

Так...кольца это ряд лорана и у меня нет колец, у меня есть функция которую надо разложить в круге в ряд Тейлора...И в задании у меня четко написано что надо разложить в ряд Тейлора

-- Чт дек 08, 2011 19:22:55 --

Ну и сколько мы не решали примеров в аудитории 2 случая небыло ни разу)