Уверен, многие догадались, о каком таком «ху», шла речь в задаче.
Действительно, это - таблица Пифагора (ТП).
Чтобы «довести» ТП до первичной сетки необходимо продублировать верхнюю строку и левый столбец таблицы, расположив их, соответственно, выше и левее. При этом придадим им значение - «строка индексов» и «столбец индексов» чисел.
Двоичная сетка – это четные числа.
Для того, чтобы лучше понять, что такое узлы, желательно ввести параметр – показатель сложности числа A(n). Многие из тех, кого я спрашивал, отвечали, что такой параметр в математике, вроде бы, существует, но не могли вспомнить, как он называется.
Такой параметр должен иметь значения А(1)=0, А(p)=1, где р – простое число. Для составных s = p*q A(s) = A(p)+A(q) = 1+1 = 2 и т.д. По этому параметру становится видимой «исключительность» числа 1 (против невнятного – «не простое и не составное»).
Теперь ясно, что узлы, оставшиеся видимыми после наложения всех других сеток – это составные числа с показателем сложности, равным 2.
В ТП можно выделить диагонали.
Основная диагональ – это диагональ квадратов (начинается от О).
Диагонали «/», соединяющие индексы четных чисел (например, 2N-2N, где 2N – индекс числа 2n) и перпендикулярные основной (естественно, если у Вас таблица Пифагора квадратной формы), по сути своей являются отражением последовательности
В задаче спрашивалось: будут ли на диагоналях 2N-2N числа с показателем сложности, равным 2 (например, s = p*q, p<q, A(s) = 2)?
Допустим, что
, тогда s=( n-a)*(n+a).
Т.к. А(s) = 2, то нет других вариантов, кроме: p = (n-a), q = (n+a).
Отсюда, p+q = n-a+n+a = 2n.
Таким образом, упомянутые диагонали, вполне справедливо, можно назвать диагоналями Гольдбаха (ДГ). Наличие или отсутствие во всех этих диагоналях составных чисел с A(s)=2, свидетельствует о том, справедлива или нет гипотеза Гольдбаха (ГГ) ("Любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел не менее, чем одним способом").
Основную диагональ, в некотором роде, можно считать "отражением" числовой оси, с той лишь разницей, что роль простых на ней "исполняют" те же числа с A(n)=2.
Если выделить цветом упомянутые числа на ТП, то проблема Гольдбаха в такой интерпретации может приобрести "визуальную наглядность", которая, в свою очередь, может инициировать появление новых направлений решения ГГ.
Хочу привести в тезисах один из своих, как мне кажется, возможных вариантов:
1. Простые и псевдопростые (П+П) в ряду окончаний s-чной системы счисления (СС)(то же, что и остатки от деления)занимают строго определенные им места.
2. Такие же места определены для П+П и в ряду окончаний квадратов в той же СС.
3. Введем понятие B(n)_s - это количество простых и псевдопростых нечетных чисел в ряду
(1)
в s-чной СС.
4. Можно доказать лемму следующего содержания:
"Для любого четного числа 2n всегда найдется такая s-чная СС, в которой количество нечетных составных, псевдопростых по основанию s, непревышающих 2n, будет меньше B(n)_s не менее, чем на 2".
Пример 1: Рассматривая число 2n=48 в 3-чной СС, видно, что B(24)_3 = 8, а количество составных псевдопростых по основанию 3, непревышающих 48, всего 2 (25,35). Следовательно, количества этих составных недостаточно, чтобы занять все места в ряду (1), а это в свою очередь означает, что симметрично n будут расположены простые, которые в сумме и дадут число 48.
Пример 2: Для числа 2n=194 используем 210-чную СС (s=2*3*5*7=210), в которой составных псевдопростых по основанию 210, непревышающих 197, всего 4 (121, 143, 169, 187), а B(97)_210 = 6.
Далее, хотелось бы поговорить и о диагоналях («\»). И о чем будет задача, если в ней появится второй вопрос: «Доказать, что часть узлов будет оставаться видимой по всей длине любой диагонали «\»?