Задачу на тему сложное движение точки

[give_up]

Помогите решить залачу: два стержня вращаются вокруг своих неподвижных концов $O_1$ и $O_2$ в направлениях, указанных на рисунке. В точке $M$ пересечения стержней находится охватывающее их колечко, которое свободно может перемещаться по стержням. Найти скорость колечка в зависимости от угла $\varphi$, если угловые скорости стержней равны $\[\overrightarrow {{\omega _1}} \,,\,\overrightarrow {{\omega _2}} \]$, а расстояние колечка от концов $\[{O_1}M = {a_1};{O_2}M = {a_2}\]$
(Ответ к задаче:$\[{v^2} = (\omega _1^2a_1^2 + \omega _2^2a_2^2 + 2{\omega _1}{\omega _2}{a_1}{a_2}\cos \varphi )/{\sin ^2}\varphi \]$ )


Подскажите как понять условие - праильно ли я думаю, что в точке $M$ выполняется равенство $\[\overrightarrow {{\omega _1}} \times \overrightarrow {{a_1}} = \overrightarrow {{\omega _2}} \times \overrightarrow {{a_2}} \]$, но как в этой задаче можно выразить скорость колечка?

[KAM]

Может попробовать как поворот вокруг одной опоры и перемещение вдоль этого же стержня?

[yasya17]

А решение верное? $\[\sin^2(\varphi)\]$ там ни к чему совершенно.

[ewert]

yasya17 в сообщении #512048 писал(а):

А решение верное? $\[\sin^2(\varphi)\]$ там ни к чему совершенно.

Очень даже к чему. Рассмотрите бесконечно малые повороты стержней. Там получится бесконечно малый параллелограмчик со сторонами $\vec d_1$ и $\vec d_2$, угол между которыми равен $\varphi$. Квадрат скорости точки пересечения соответствует квадрату диагонали этого параллелограмчика, т.е.

$|\vec d_1+\vec d_2|^2=|\vec d_1|^2+|\vec d_2|^2+2|\vec d_1|\cdot|\vec d_2|\cdot\cos\varphi$

(делённому на $dt$, конечно). Выражение в скобках ровно это и означало бы, но -- лишь для момента, когда стержни перпендикулярны друг другу. А поскольку это не так, постольку и синус.