Корреляционная функция процесса.

[Wanderer_Ilgiz]

Дана корреляционная функция $R_{\xi}(\tau) = {\sigma_{\xi}^2e^{-{\alpha|{\tau}|}}}$ колебания $\xi(t)$. Нужно найти корреляционную функцию $R_{\eta}(\tau)$ при условии, что $\eta(t)=\frac{d\xi(t)}{dt}$. Правильно ли я понимаю, нужно сначала найти спектральную плотность процесса $\xi(t)$, затем домножить ее на ${\omega^2}$( чтобы получить спектральную плотность процесса $\eta(t)$), а затем вновь перейти во временную область и это будет $R_{\eta}(\tau)$ ?

[profrotter]

Wanderer_Ilgiz в сообщении #511189 писал(а):

домножить ее на ${\omega^2}$

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса и его корреляционная функция представляют собою пару преобразваний Фурье. Поэтому, прежде чем делать лишние операции, посмотрите свойство дифференцирования для преобразования Фурье и подумайте, что происходит с самой корреляционной функцией, когда её преобразование Фурье домножают на $\omega^2$.

[Wanderer_Ilgiz]

Правильно ли я понимаю, что вы предлагаете посчитать свёртку между ${\omega^2}$ пересчитанного во временную область и $R_{\xi}(\tau)$?

[vladiko]

Умножение на $(i\omega)^n$ в частотной области эквивалентно взятию $n$-ной производной от вашей функции. В данном случае от функции корреляции. Можетe описать ход ваших мыслей?

[Wanderer_Ilgiz]

Я нашёл спектральную плотность мощности процесса $\xi(\tau)$ далее домножил её на ${\omega^2}$ и пытаюсь обратно вернуться во временную область, но там интеграл
$R_{\eta}(\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty 2{\sigma^2}\frac{\alpha{\omega^2}}{{\alpha^2}+{\omega^2}}{e^{iw\tau}}d\omega$ взять не получается.

[vladiko]

Насчёт интеграла, прочитайте мой пост ещё раз внимательно. Откуда вы взяли то, что бы решить вашу задачу надо обязательно умножить спектральную плотность на $\omega^2$?

[Wanderer_Ilgiz]

Из книжки "В.Т.Горяинов,А.Г.Журавлёв Статистическая радиотехника. Примеры и задачи." Правда вот примеров подобныч задач найти не удалось.

[profrotter]

Wanderer_Ilgiz в сообщении #511297 писал(а):

Из книжки "В.Т.Горяинов,А.Г.Журавлёв Статистическая радиотехника. Примеры и задачи." Правда вот примеров подобныч задач найти не удалось.

То есть формулу (6.32) Вы видели, но решить задачу желаете именно с привлечением формулы (6.33)?
Давайте даже расширенно определимся:
1. Вы хотите решить задачу простым способом во временной области.
2. Вы хотите решить задачу, используя понятие спектральной плотности процесса,
при этом:
2.1. Вы хотите найти обратное преобразование Фурье простым (табличным способом)
2.2. Вы хотите изрядно поупражняться с интегралом при отыскании обратного преобразования Фурье.

Укажите желаемые для Вас номера пунктов и подпунктов.

[Wanderer_Ilgiz]

Я всеми руками за простой способ(1;2.1), но вот как делать во временной области я не догадался.

[vladiko]

Wanderer_Ilgiz в сообщении #511359 писал(а):

Я всеми руками за простой способ(1;2.1), но вот как делать во временной области я не догадался.

Формула 6.32 для какой области написана? Что именно в ней не понятно?

[Wanderer_Ilgiz]

Не понятно то, откуда в ответе в этом случае появляется дельта функция: $R_{\xi}(\tau) = {\sigma_{\xi}^2e^{-{\alpha|{\tau}|}}}(1-\frac{2{\delta({\tau}){e^{-{\alpha|{\tau}|}}}}}{\alpha})$.

[profrotter]

Пишите решение - будем на него смотреть. А дельта-функция появляется когда вы ищете вторую производную потому что первая производная будет иметь разрыв в нуле. О дифференцировании функций с разрывом немного есть в сообщении #442428. Я там не очень удачно написал в терминологическом плане, но "чем богаты - теми рады".

[vladiko]

Потому что после того как возьмёте первую производную , появится $sign(\tau)$. Значит во второй производной вылезет дельта функция.
Как и написал profrotter , первая производная разрывна в нуле.

[Wanderer_Ilgiz]

Спасибо! Кажется понял и посчитал уже, всё сходится. Сейчас остальные варианты тоже прорешаю.