Борелевская сигма-алгебра

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Как жаль, что теория типизированных множеств так и не привела ни к чему хорошему. Тогда бы сразу было ясно, что нельзя вычислять $2^A\cap A$...

[PAV]

iakovk в сообщении #510368 писал(а):

PAV в сообщении #510362 писал(а):

Это невозможно, так как эти "множества" находятся на разных уровнях, и теоретико-множественные операции над ними производить нельзя.

Вы издеваетесь, да? Почему нельзя-то? И что такое уровни?

Ничуть не издеваюсь. Первый уровень - это точки прямой. Следующий уровень - это множества, элементами которых являются эти точки. Например, интервалы. Или вся прямая. Следующий уровень - это совокупности таких множеств, то есть множества, элементами которых являются подмножества прямой. К этому уровню относятся, в частности, сигма-алгебры. Пересечь сигма-алгебру с интервалом нельзя, так как они состоят из элементов разной природы.

[--mS--]

Да нет же, господа, вглядитесь! Вот здесь ТС совершенно корректно описывал, что он собирается пересекать

2FED в сообщении #509979 писал(а):

и вышеупомянутые два множества и пересечение , дополнение любых элементов из этих двух множеств.

Вы отреагировали на слова "пересечение и дополнение сигма-алгебры с любыми интервалами" в первом сообщении ветки - это просто ТС съел слово "элементов" перед "сигма-алгебры", что было очевидно с самого начала.

Так что проблема не с этим. Просто ТС, как бы мы ни крутились, предполагает, что есть какая-то "(минимальная) сигма-алгебра", куда надо поместить все интервалы, и добавить туда пересечения и дополнения (кстати, почему не объединения?) её множеств с интервалами, и получится борелевская. И на уговоры не реагирует

[2FED]

Отлично, я понял вас, что я не прав.Почему не поддаюсь на уговоры? Я готов внимать. Получается что если просто взять и образовать сигма-алгебру от любых интервалов на прямой получается борелевская сигма-алгебра. Не могли бы вы неформально дать определение или показать как ее можно построить.

Цитата:

(кстати, почему не объединения?)

пересечение как-то ближе

[PAV]

Борелевская сигма-алгебра - это объект, заданный неконструктивно. Это означает, что доказано, что данный объект существует и задан вполне однозначно и определенно, однако его понятного описания или построения в том смысле, в котором Вы ожидаете, нет. Нет универсального конструктивного способа проверить, является ли некоторое множество борелевским или нет. Например, пример неборелевского множества на прямой довольно нетривиален. Я в нем когда-то разбирался, однако деталей уже не помню и привести его не смогу. (Разумеется, я имею в виду неборелевское множество, которое однако измеримо по Лебегу. Любое неизмеримое множество, разумеется, будет также и неборелевским, и строится оно несложно, однако при этом используется аксиома выбора, к которой у многих неоднозначное отношение.)

В частности, мы не застрахованы от того, что может быть предложен способ построения некоторого множества, про которое будет исключительно непросто определить, является ли оно борелевским или нет.

Однако на практике это особенно никого не интересует и не беспокоит. Достаточно помнить как факт, что неборелевские множества тоже существуют, однако все те множества, которые возникают в практических задачах, а также те, которые можно придумать, не проявляя особых чудес изобретательности, являются борелевскими, и это доказывается обычно без особых хлопот, выражая эти множества через известные борелевские с помощью теоретико-множественных операций, относительно которых сигма-алгебры замкнуты.

[--mS--]

2FED в сообщении #510788 писал(а):

Не могли бы вы неформально дать определение или показать как ее можно построить.

Потрудитесь сходить по ссылке, данной выше, и получить ответы на все свои вопросы.

[2FED]

Цитата:

Потрудитесь сходить по ссылке, данной выше, и получить ответы на все свои вопросы.

Спасибо ,очень полезный ресурс.

Последняя попытка: Если взять монжетсво всех интервалов и образовать такую совокупность множеств , в которую будет входить множетсво всех интервалов и еще некоторые множетсва при которых будет выполняться 3 условия сигма-алгебры. Это будет борелевская сигма-алгебра?

[--mS--]

2FED в сообщении #510937 писал(а):

Последняя попытка: Если взять монжетсво всех интервалов и образовать такую совокупность множеств , в которую будет входить множетсво всех интервалов и еще некоторые множетсва при которых будет выполняться 3 условия сигма-алгебры. Это будет борелевская сигма-алгебра?

Совершенно не обязательно. Множество всех подмножеств прямой является сигма-алгеброй, содержит все интервалы (и ещё некоторые множества), однако это НЕ борелевская сигма-алгебра. А гораздо шире. Или Вы имели в виду под "некоторые множества" - не просто какие-то левые, а те и только те, которые следует добавить к множеству всех интервалов, чтобы получилась сигма-алгебра? Тогда да. Однако набор этих множеств не исчерпывается пересечениями и объединениями интервалов. Грубо говоря, на первом шаге следует добавлять такие множества, которые получаются из интервалов в результате не более чем счётного пересечения или объединения, или дополнением. Потом множества, которые получаются из интервалов и множеств "первого шага" в результате не более чем счётного пересечения или объединения, или дополнением. Потом множества, которые получаются из интервалов, множеств "первого или второго шага" в результате не более чем счётного пересечения или объединения, или дополнением. И т.д. Результат - борелевская сигма-алгебра :)

[Полосин]

Пример неборелевского множества, измеримого по Лебегу, можно найти в книге Гелбаума и Олмстеда.