равностепенно ограниченный оператор

[Oleg Zubelevich]

Пусть $T:X\to X$ -- линейный оператор на нормированном пространстве $X$. Оператор $T$ таков, что $\sup_{n\in\mathbb{N}}\|T^n\|<\infty.$
Доказать, что

$$\overline{\mathrm{im}\,(I-T)}\bigcap\mathrm{ker}\,(I-T)=\{0\}.$$

[Sinus]

Предположим, что $x \in \overline{\mathrm{im}\,(I-T)}\bigcap\mathrm{ker}\,(I-T)$, $||x||>0$. Можно считать, что $||x||=1$. Это означает, что $Tx=x$ и для всех $\varepsilon>0$ существует $y \in X$ такой, что $Ty=y-x+a$, где $||a||< \varepsilon$. По индукции легко $T^ny=y-nx+a+Ta+...+T^{n-1}a$.

Пусть $\sup_{n\in\mathbb{N}}\|T^n\|<C$, тогда для $\varepsilon < \frac{1}{nC}$ мы будем иметь $||T^ny|| \geqslant n-||y||- \frac {nC}{nC} \to \infty$, то есть семейство $\sup_{n\in\mathbb{N}}\|T^n\|$ не может быть равностепенно ограниченным.

[Oleg Zubelevich]

Да, это несложная задача, а еще этот факт является следствием теоремы Иосиды:

$$\overline{\mathrm{im}\,(I-T)}=\{x\in X\mid \|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nT^kx\|\to 0,\quad n\to\infty\},$$

которую, впринципе, тоже можно предлагать в качестве задачи