Неравенство треугольника

[longstreet]

$\rho\left(x,y\right)\le\rho\left(x,z\right)+\rho\left(z,y\right)$
Неравенство треугольника считается одним из интуитивных свойств расстояния.

$\text{Два других интуитивных свойства:}\quad\rho(x,y)\ge0\quad\text{и}\quad\rho(x,y)=\rho(y,x)$
у меня получилось перевести с языка формул на язык слов так:
расстояние всегда положительно; равно нулю между одинаковыми объектами; не зависит от порядка объектов.

Вопрос. Можно ли лучше сформировать это словесно, и какой вариант вы могли бы предложить для неравенства треугольника?

Стандартный вариант: Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон для меня не слишком интуитивен . Я его понимаю, но мне нужно в тексте написать без формул, коротко, ясно.

-- 29.11.2011, 02:11 --

Если там случай равенства $\rho(x,y)=\rho(x,z)+\rho(y,z)$ отдельно обговаривать, тоже плохо.

-- 29.11.2011, 02:16 --

Ах, пока писал, узнал, что $\rho(x,y)\le\rho(x,z)+\rho(z,y)$ -- это обобщённое неравенство треугольника. А обычное $\rho(x,y)<\rho(x,z)+\rho(z,y)$.

Меня интересует обобщённое.

-- 29.11.2011, 02:26 --

Можно ли (хорошо ли) все три условия описать так:

Расстояние между точками задано, если любой паре объектов соответствует положительное число, причём для любых трёх объектов справедливо (обобщённое) неравенство треугольника. Расстояние между совпадающими точками считается нулевым.

[JMH]

Вы просто почитайте полноценное определение метрики в любой книге по топологии или хотя бы здесь.

-- Пн ноя 28, 2011 18:45:06 --

Вы хотели только словами, без формул? Разумеется можно, только чтобы определение было корректным, его придётся сделать громоздким. Начинаться оно может так: "Метрикой называется отображение пар элементов рассматриваемого множества на множество неотрицательных действительных чисел, такое, что..." ... ну и так далее.

[Joker_vD]

longstreet в сообщении #509443 писал(а):

какой вариант вы могли бы предложить для неравенства треугольника?

"Расстояние между двумя точками напрямки короче, чем с заездом в точку сбоку".

[longstreet]

JMH, это действительно строго, но такое объяснение сложно и длинно. В любом случае, спасибо!

Joker_vD, это почти то, что надо, очень понравилось. Вот бы ещё суметь пояснить, что такое напрямки (это же не всегда евклидовы напрямки) и что такое "сбоку". Мне именно для неевклидовой метрики нужно описать вводимое расстояние. Для евклидовой интуитивно вообще хватило бы для всего слова расстояние.

[longstreet]

Подскажите пожалуйста, эквивалентны ли между собой следующие две системы аксиом:

Первая.
Аксиома1. $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
Аксиома2. $d(x,y)=d(y,x)$
Аксиома3. $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

Вторая.
АксиомаI. $d(x,y)\ge 0$
АксиомаII. $d(x,y)=d(y,x)$
АксиомаIII. $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$

Первая взята из википедии (определение метрики). Вторая из лекций, которые мне дали. Мне кажется, что они равносильны. Проверьте, пожалуйста.

Я вижу, что они отличаются только первыми аксиомами. Но в википедии сказано, что то, что расстояние должно быть неотрицательным, то есть $d(x,y)\ge 0$ вытекает из аксиомы треугольника при $z=x$. Тогда зачем вообще нужна АксиомаI, если она следует из АксиомыIII? Запутался.

[alcoholist]

Конечно, нет. Возьмите трехточечное множество $\{a,b,c\}$ с попарными (симметричными) "расстояниями" $|ab|=0$, $|ac|=|bc|=1$.

Вот первый набор аксиом станет правильным, если в первой аксиоме стрелочку в обе стороны нарисовать. Неотрицательность расстояния следует из неравенства треугольника и первой аксиомы.

[longstreet]

Посмотрим, как она вытекает. В АксиомеIII положим $z=x$. Тогда

$$d(x,y)+d(y,x)\ge d(x,x)$$

Используя АксиомуII, имеем

$$2d(x,y)\ge d(x,x)$$

Теперь нам не хватает аксиомы, которая говорила бы, что $d(x,x)=0$. Если её добавить, то имеем

$$d(x,y)\ge 0$$

То есть, получили, что расстояние - число неотрицательное.

-- 29.11.2011, 13:27 --

alcoholist, первая - правильная. Хорошо. А вторая неправильная, из-за того, что мы ниоткуда не имеем $d(x,x)=0$?

[alcoholist]

Да... я исправил выше -- не хватает стрелочки в обратную сторону в первой аксиоме

-- Вт ноя 29, 2011 13:29:36 --

нет, вторая неправильная потому, что между разными точками может быть нулевое расстояние, как я в примере привел

[bot]

longstreet в сообщении #509576 писал(а):

первая - правильная

Нет, возьмём любую метрику $\rho$ и положим $d=1+\rho$

[longstreet]

ах, да, стрелочку исправил с $\Rightarrow$ на $\Leftrightarrow$.

-- 29.11.2011, 13:54 --

Цитата:

нет, вторая неправильная потому, что между разными точками может быть нулевое расстояние, как я в примере привел

нулевое расстояние может же быть только между одинаковыми точками, а не разными!