Метод линеаризации уравнений движения

[srm]

Здравствуйте. Не получается разобраться со статьей. Не понятно как они такое получили (формула 5):
http://www.astronet.ru/db/msg/1210064/node5.html

Я всё честно продифференцировал, несколько раз проверил, но получил иной результат

$x\left(t\right)=A\left(s\right)u\left(s\right)$
$\dot{x}=\frac{1}{f}\frac{dAu}{ds}=\frac{1}{f}A'u+\frac{1}{f}Au'$
$\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}f=f\nabla f\dot{x}=\nabla f\left(A'u+Au'\right)$

В итоге получается
$u''=f^{2}F+\frac{1}{f}\left[\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right]\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'$

Исходной статьи найти не могу. Подскажите, в чём моя ошибка.

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #509147 писал(а):

В итоге получается
$u''=f^{2}F+\frac{1}{f}\left[\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right]\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'$

то, что в правильных уравнениях должно быть $A^{-1}$ очевидно из первого уравнения системы (4). У Вас этого множителя почему-то нет.
Я как-то всегда думал, что студентов на этом форуме обучают дифференцировать в другом разделе.

[srm]

Oleg Zubelevich в сообщении #509186 писал(а):

то, что в правильных уравнениях должно быть очевидно из первого уравнения системы (4). У Вас этого множителя почему-то нет.

Я дифференцирую 2 раза $x$, потом выражаю $u''$.

Oleg Zubelevich в сообщении #509186 писал(а):

Я как-то всегда думал, что студентов на этом форуме обучают дифференцировать в другом разделе.

Продифференцируйте и получите тот результат, который в статье. Мне интересно взглянуть как Вы умеете дифференцировать.

[Oleg Zubelevich]

srm в сообщении #509187 писал(а):

Продифференцируйте и получите тот результат, который в статье. Мне интересно взглянуть как Вы умеете дифференцировать.

Я умею, поэтому мне ясно, что после двукратного дифференцирования равенства

srm в сообщении #509147 писал(а):

$x\left(t\right)=A\left(s\right)u\left(s\right)$

должна получиться формула в которой слева будет стоять $\ddot x$ а справа $Au''$ , и разумеется и еще какие-то слагаемые. Поэтому $u''=A^{-1}...$ Так, что тренируйтесь, набивайте руку, желаю успеха.

[srm]

Да, пропустил матрицу. Спасибо за подсказку. В общем, получилось вот так:

$u''=A^{-1}\left(f^{2}F+\frac{1}{f}\left(\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right)\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'\right)$

Всё-равно не совпадает с результатом.

[espe]

srm в сообщении #509195 писал(а):

Да, пропустил матрицу. Спасибо за подсказку. В общем, получилось вот так:

$u''=A^{-1}\left(f^{2}F+\frac{1}{f}\left(\nabla f\left(A'u+Au'\right)\right)\left(A'u+Au'\right)-A''u-2A'u'\right)$

Всё-равно не совпадает с результатом.

Здесь все нормально, только это лишнее

srm в сообщении #509147 писал(а):

$\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}f=f\nabla f\dot{x}=\nabla f\left(A'u+Au'\right)$

Нужно это обратно записать как $\frac{df}{ds}$. Все остальные отличия равны нулю с учётом (3).

[srm]

espe, Ага.. Понятно. Странно, кончено. Функция $f$ зависит от $x$, а производная берётся по $s$ - не расписывается градиент. Дальше с этим всё понятно. Если выражения (3) равны нулю, то их добавление не изменит равенства.

Ещё такой вопрос. Не совсем понятно как подбираются коэффициенты $M_i$, $N_i$? Так, чтобы уничтожились слагаемые с $u'$?

[espe]

srm в сообщении #509839 писал(а):

Ещё такой вопрос. Не совсем понятно как подбираются коэффициенты $M_i$, $N_i$. Так, чтобы уничтожились слагаемые с $u'$?

Да.