Ряд Лорана, комплексный анализ

[Alexeybk5]

Здравствуйте
начал изучать ряд Лорана, хотелось бы у Вас уточнить некоторые понятия:
ну во первых, в википедии в определении отрицательной части (главной части ряда Лорана) указываются пределы интегрирования от минус бесконечности до минус одного.
Верно ли это ? ведь в ТФКП понятие бесконечности не имеет знака, разве нет ?
http:// ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Лорана


Второй вопрос:
можете пожалуйста пояснить сам ряд Лорана (доказательство я разобрал, но не очень получается "пощупать" это определение, можете пожалуйста "на пальцах" пояяснить, или дать геометрическое представление?)

ну и третий вопрос:
ряд Лорана получается даёт более точно приближение функции чем формула Тейлора , для этого вы его и изучаем, верно?

Спасибо за внимание

[Null]

Не нашел в статье бесконечных пределов интегрирования(там только суммирование с целым $n$)

Ряд Лорана сходиться в некотором кольце(внутренний круг может вырождаться в точку, внешний уходить на бесконечность). Это обобщение ряда Тейлора, для исследования поведения функций в особых точках.(Например $f(z)=\frac{1}{z}$ в точке 0)

[Alexeybk5]

простите не правильно выразился, точнее суммируется главная часть от $n=- \infty $до$ n=-1$

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #508967 писал(а):

ведь в ТФКП понятие бесконечности не имеет знака, разве нет ?

Смотря для кого. Для комплексной переменной -- да (в смысле нет). А вот для пределов суммирования -- нет (в смысле вполне имеет), т.к. переменная суммирования целочисленна, и вообще понятие ряда само по себе совсем не ТФКПшное, оно там всего лишь используется.

Alexeybk5 в сообщении #508967 писал(а):

доказательство я разобрал, но не очень получается "пощупать" это определение, можете пожалуйста "на пальцах" пояяснить,

Не уверен, что можно дать лучшую распальцовку, чем то, что Вы "разобрали". В стандартном доказательстве идея как раз очень естественна: значение в точке (внутри кольца) равняется сумме интегралов по двум охватывающим эту точку окружностям, и мы просто тупо раскладываем подынтегральное выражение для каждого из них в ряд как геометрическую прогрессию -- для какого какая прогрессия корректна, в ровно такую тот и раскладываем.

Alexeybk5 в сообщении #508967 писал(а):

ряд Лорана получается даёт более точно приближение функции чем формула Тейлора

Нет, конечно. Для них как таковых понятие точности вообще особого смысла не имеет. Ряд Лорана просто шире применим (но и менее конкретно формализуем; естественно, чудес-то не бывает).

[Alexeybk5]

Спасибо теперь понятно

Не могли бы Вы ответить на ещё один вопрос:

Можете пояснить понятие полюс

Изолированная особая точка$ z_0$ называется полюсом $f(z)$, если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки$ z_0 $главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #509013 писал(а):

если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки$ z_0 $главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

Совершенно верно, то есть.

[Alexeybk5]

Да, )) не вставил до конца определение)))
но всё же, как в геометрическом смысле это понять ?

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #509017 писал(а):

но всё же, как в геометрическом смысле это понять ?

Никак. Это понятие -- сугубо аналитическое.

Есть, конечно, альтернативное (и эквивалентное) определение на языке пределов. Но оно неестественно.

[Alexeybk5]

Простите, что-то я туплю

" В стандартном доказательстве идея как раз очень естественна: значение в точке (внутри кольца) равняется сумме интегралов по двум охватывающим эту точку окружностям
"
а почему это так (почему значение в точке, внутри кольца, равняется сумме интегралов по двум охватывающим эту точкам окружностям

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #509023 писал(а):

почему значение в точке, внутри кольца, равняется сумме интегралов по двум охватывающим эту точкам окружностям

По интегральной формуле Коши (после соединения этих двух окружностей двусторонним отрезочком). Там всё написано, я уверен.

[Alexeybk5]

ну и про определение полюса:
в чём смысл требовать конечность ненулевых членов главной части ряда ?

-- 28.11.2011, 01:15 --

в доказательстве составляется интегла по кольцу (как разница между двумя кривыми вокруг центра)

по теореме Коши это в смысле, что будет гомотопность в точку? Вы извините, просто у меня каша похоже в голове, посему и задаю такие глупые вопросы

[Joker_vD]

ewert в сообщении #509018 писал(а):

Никак. Это понятие -- сугубо аналитическое.

А вроде ж там как-то с касательными можно покрутиться? Или нет?

Alexeybk5 в сообщении #509025 писал(а):

в чём смысл требовать конечность ненулевых членов главной части ряда ?

Если в главной части конечное число членов — то функция в точке ведет себя плохо, но только до некоторой грани. Если же их бесконечно много — то в этой точке с функцией ваще ... творится.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #509026 писал(а):

А вроде ж там как-то с касательными можно покрутиться? Или нет?

Или нет. Во всяком случае, не в этом месте точно. Тут это заведомо бесполезно.

Alexeybk5 в сообщении #509025 писал(а):

по теореме Коши это в смысле, что будет гомотопность в точку?

Не по теореме Коши, а по интегральной формуле Коши.

Разность интегралов (берущихся в положительном направлении) по внешней окружности и по внутренней естественным образом переформулируется так. Фиксируем некую точку на внешней окружности и интегрируем по этой окружности, против часовой стрелки, от неё до неё же. Потом спускаемся по отрезку на внутреннюю окружность. Потом интегрируем вновь до точки спуска по внутренней окружности, но уже, разумеется, в отрицательном направлении -- по часовой стрелке. Потом подымаемся ввысь по тому же отрезку до исходной точки. Первый и второй интегралы по этому отрезку, разумеется, сокращаются.

В итоге получается некий контур, охватывающий некую односвязную область с точкой наблюдения внутри (вот вам и формула Коши), и интеграл по этому контуру в точности равен разности интегралов по окружностям (разности, если обход обеих окружностей подразумевался в положительном направлении).

[Alexeybk5]

Спасибо
Но всё же,

в чём смысл требовать конечность ненулевых членов главной части ряда в определении понятия полюс ?

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #509037 писал(а):

в чём смысл требовать конечность ненулевых членов главной части ряда в определении понятия полюс ?

Смысл не в том, чтобы требовать, а чтоб различать.

К-ва таких членов естественным образом распадаются на бесконечные, конечные и нулевые, что и диктует естественную классификацию. И не было бы никакого проку с этой классификации, конечно, кабы конкретно полюса не допускали бы довольно эффективных теорем для своего описания. А они допускают, заразы.