ведь в ТФКП понятие бесконечности не имеет знака, разве нет ?
Смотря для кого. Для комплексной переменной -- да (в смысле нет). А вот для пределов суммирования -- нет (в смысле вполне имеет), т.к. переменная суммирования целочисленна, и вообще понятие ряда само по себе совсем не ТФКПшное, оно там всего лишь используется.
доказательство я разобрал, но не очень получается "пощупать" это определение, можете пожалуйста "на пальцах" пояяснить,
Не уверен, что можно дать лучшую распальцовку, чем то, что Вы "разобрали". В стандартном доказательстве идея как раз очень естественна: значение в точке (внутри кольца) равняется сумме интегралов по двум охватывающим эту точку окружностям, и мы просто тупо раскладываем подынтегральное выражение для каждого из них в ряд как геометрическую прогрессию -- для какого какая прогрессия корректна, в ровно такую тот и раскладываем.
ряд Лорана получается даёт более точно приближение функции чем формула Тейлора
Нет, конечно. Для них как таковых понятие точности вообще особого смысла не имеет. Ряд Лорана просто шире применим (но и менее конкретно формализуем; естественно, чудес-то не бывает).