Открытая проблема из OEIS: двумерные рекуррентности

[maxal]

Вот "свежая" открытая проблема, предложена Paul D. Hanna.

Рассмотрим две двумерных последовательности:

1) Первая последовательность (A091351 в OEIS) задается бесконечной нижнетреугольной матрицей $A$. Ее строки и столбцы нумеруются с нуля, и $k$-ый столбец матрицы $A$ состоит из сумм элементов в строках матрицы $A^k$ со сдвигом на $k$ позиций вниз, то есть элемент $A_{n,k}$ равен сумме элементов в строке $n-k$ матрицы $A^k.$ Вот эта матрица (выше и правее главной диагонали стоят нули, которые здесь опущены):

$$\begin{array}{l} 1;\\ 1, 1;\\ 1, 2, 1;\\ 1, 4, 3, 1;\\ 1, 9, 9, 4, 1;\\ 1, 24, 30, 16, 5, 1;\\ 1, 77, 115, 70, 25, 6, 1;\\ 1, 295, 510, 344, 135, 36, 7, 1;\\ 1, 1329, 2602, 1908, 805, 231, 49, 8, 1;\\ 1, 6934, 15133, 11904, 5325, 1616, 364, 64, 9, 1;\\ \dots \end{array}$$

Элементы этой матрицы удовлетворяют также рекуррентной формуле:
$A_{n,k}= \sum_{j=0}^{n-k} A_{n-k,j} A_{j+k-1, k-1}$ для $0< k\leq n.$


2) Последовательность $B$ также задается бесконечной матрицей, в которой первая строка состоит из единиц, а элемент $B_{n+1,k}$ есть сумма первых $k$ элементов $B_{n,j}$ для $j=1,2,...,$ пропуская индексы вида $T(m)=\frac{m^2 + 3m}{2},$ где $m\geq 1.$
Вот эта последовательность:

$$\begin{array}{l} 1,(1), 1, 1,(1), 1, 1, 1,(1), 1, 1, 1, 1,(1), 1, 1, 1, ...;\\ 1,(2), 3, 4,(5), 6, 7, 8,(9), 10, 11, 12, 13,(14), 15, 16, 17, ...;\\ 1,(4), 8, 14,(21), 29, 39, 50,(62), 75, 90, 106, 123,(141), 160, 181, ...;\\ 1,(9), 23, 52,(91), 141, 216, 306,(412), 535, 695, 876, 1079,(1305), ...;\\ 1,(24), 76, 217,(433), 739, 1274, 1969,(2845), 3924, 5479, 7335, ...;\\ 1,(77), 294, 1033,(2307), 4276, 8200, 13679,(21014), 30534, 45528, ...;\\ 1,(295), 1328, 5604,(13804), 27483, 58017, 103545,(167868), 255305, ...;\\ 1,(1329), 6933, 34416,(92433), 195978, 451283, 855463,(1454823), ...;\\ 1,(6934), 41350, 237328,(688611), 1544074, 3847960, 7700971, ...;\\ 1,(41351), 278679, 1822753,(5670713), 13371684, 35818351, 75299744, ...; \end{array}$$

В скобках стоят элементы на позициях $T(m),$ то есть не участвующие в суммах задающих элементы последующих строк. Например,
$B_{3,6} = 29 = 1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8$ - сумма первых 6 элементов 2-й строки, стоящих вне скобок.

Доказать, что первый столбец матрицы $A$ совпадает со вторым столбцом матрицы $B.$ Другими словами, доказать, что последовательности $A_{n,1}$ и $B_{n,2}$ совпадают. Эта последовательность присутствует в OEIS как A091352:
1, 2, 4, 9, 24, 77, 295, 1329, 6934, 41351, 278680, 2101434, 17574552, 161740316, 1626733108, 17771416521, 209739328924, 2661301094008, 36148700652163, 523597247829867, 8059284921781892, 131408547139817541