Порядок класса;

[StudentKB]

Добрый вечер.

Рассмотрим факторгруппу группы G( |G|= n ) по подгруппе H (|H| = m ).
Пусть [x]- левый смежный класс элемента x по подгруппе H.

Надо показать, что если ord([x]) = d , то d делит ord(x).

Пытаюсь показать через следствие из теоремы Лагранжа, то что порядок элемента группы делит порядок группы, но толком прийти к нужному не могу, подскажите.

[bnovikov]

StudentKB в сообщении #508922 писал(а):

Рассмотрим факторгруппу группы G( |G|= n ) по подгруппе H (|H| = m ).
Пусть [x]- левый смежный класс элемента x по подгруппе H.

Надо показать, что если ord([x]) = d , то d делит ord(x).

${\rm ord}[x]={\rm ord}H$, поэтому то, чего Вы хотите, никак не возможно. Скорее, наоборот.

[StudentKB]

Если я правильно понял, Вы хотите сказать, что ord(x)|ord([x]) ?
Но ведь если x попадет в один смежный класс с нейтральным элементом, то получится что ord[x]=1, и уже будет видно, что он делит порядок элемента из группы

[bnovikov]

StudentKB в сообщении #508930 писал(а):

Если я правильно понял, Вы хотите сказать, что ord(x)|ord([x]) ?
Но ведь если x попадет в один смежный класс с нейтральным элементом, то получится что ord[x]=1, и уже будет видно, что он делит порядок элемента из группы

Извините, перепутал обозначения (думал, что ${\rm ord} [x]$ - это число элементов в $[x]$).

Начнем сначала.
$[x]$ - это образ элемента $x$ при гомоморфизме $G\to G/H$. Поэтому подгруппа, порожденная элементом $[x]$ в группе $G/H$, является образом подгруппы, порожденной элементом $x$, т.е. ее факторгруппой. Дальше ясно?

[StudentKB]

bnovikov в сообщении #508952 писал(а):

является образом подгруппы, порожденной элементом $x$, т.е. ее факторгруппой.

Не совсем могу понять, какая же факторгруппа в итоге.

[bnovikov]

StudentKB в сообщении #508993 писал(а):

bnovikov в сообщении #508952 писал(а):

является образом подгруппы, порожденной элементом $x$, т.е. ее факторгруппой.

Не совсем могу понять, какая же факторгруппа в итоге.

Во что переходит подгруппа, порожденная элементом $x$, при гомоморфизме $G\to G/H$?

[StudentKB]

Пусть $\varphi: G \rightarrow G/H$- гомоморфизм факторизации.
Рассмотрим подгруппу в $G$, порожденную элементом $x \in G$, то есть $<x>=\{kx, k\in\mathds{Z}\}$.
Тогда $\varphi(<x>)=\varphi(kx)=k\varphi(x)=k[x]$, то есть $\varphi(<x>)=<[x]>$.
Получаем, что $|<[x]>| \bigm{|} |<x>| => ord[x] \bigm{|} ordx$.

Мои рассуждения верны? $|<[x]>| \bigm{|} |<x>| не совсем в этом уверен. Если это верно, не могли бы Вы подкрепить мои догадки теорией?

[bnovikov]

StudentKB в сообщении #509227 писал(а):

Пусть $\varphi: G \rightarrow G/H$- гомоморфизм факторизации.
Рассмотрим подгруппу в $G$, порожденную элементом $x \in G$, то есть $<x> =\{kx, k\in\mathds{Z}\}$.
Тогда $\varphi(<x>)=\varphi(kx)=k\varphi(x)=k[x]$, то есть $\varphi(<x>)=<[x]>$.
Получаем, что $|<[x]>| \bigm{|} |<x>| \Rightarrow ord[x] \bigm{|} ordx$.

Мои рассуждения верны? $|<[x]>| \bigm{|} |<x>| не совсем в этом уверен. Если это верно, не могли бы Вы подкрепить мои догадки теорией?

Верны, только записывайте грамотно:
$\varphi(<x>)=\{\varphi(kx)| k\in\mathds{Z}\}= \{k\varphi(x)| k\in\mathds{Z}\}=k[x]$
-------------------------------------
$|<[x]>| \bigm{|} |<x>| потому, что порядок факторгруппы всегда делит порядок группы.

[StudentKB]

Спасибо! Во всем разобрался, кроме одного: $ <[x]> $ что же это все-таки за факторгруппа? По определению ведь мн-во всех классов смежности группы по ее нормальной подгруппе. $<[x]>=<x>/H$? Или все таки я чего-то недопонимаю?

[bnovikov]

StudentKB в сообщении #509317 писал(а):

Спасибо! Во всем разобрался, кроме одного: $ <[x]> $ что же это все-таки за факторгруппа? По определению ведь мн-во всех классов смежности группы по ее нормальной подгруппе. $<[x]> = <x>/H$? Или все таки я чего-то недопонимаю?

Если $H\subset <x>$, то это так. В общем случае $<[x]>\cong<x>/(H\cap <x>)$.