Задача о безникотиновых числах

[VAL]

mihiv в сообщении #506232 писал(а):

При $k=2$ можно улучшить оценку для максимальной длины цепочки $L(2)$.[..]
Отсюда $L(2)\leq 17$

Подозреваю, что подобными рассуждениями можно улучшить оценку до $L(2)\leq 11$. Ведь наверняка для больших чисел парочек типа 18, 24 или 48, 54 не существует. Это как-то должно следует из гипотезы Каталана, то бишь, теоремы Михайлеску (или мне это только мерещится?).

[mihiv]

VAL в сообщении #506259 писал(а):

Подозреваю, что подобными рассуждениями можно улучшить оценку до $L(2)\leq 11$ ...Это должно следует из гипотезы Каталана, то бишь, теоремы Михайлеску (или мне это только мерещится?).

Да Val,Вы правы,т.к.выражения в скобках для числа $N+6=2\cdot 3(2^q+1)$(или $2\cdot 3(3^s+1)$) должны быть степенями,что противоречит теореме Михайлеску.

[Sonic86]

Интересно, как доказать, что $l(2)>0$.
Потенциальные кандидаты - числа $2(2n^2-1);(2n-1)(2n+1)$ при условии, что $2n^2-1;2n-1;2n+1$ являются степенями простых. Частный случай - числа $2p; 5q$ такие, что $2p+1=5q, p,q \in \mathbb{P}$. Таких простых должно быть бесконечно много по аналогии с простыми Жермен.

[mihiv]

Sonic86 в сообщении #506055 писал(а):

Предположительно $...L(2)=8$... предположительно $...L(3)=16$

Если ещё учесть,что $L(1)=4,(\text {цепочка}2,3,2^2,5)$,то было бы интересно посмотреть,какие эмпирические значения получаются для $L(4)$.

[Sonic86]

Упс еще и $L(1)$ неверно выписал.
Думаете, степени двойки? Сейчас программку запущу. Но для $n \leqslant 10^9$ нет цепочек длины более $12$ при $\omega = 4$. Так что сильно на перебор не надейтесь. Либо надо подумать, как перебирать.

[Sonic86]

Перебрал до $5 \cdot 10^9$ - там с $\omega = 4$ есть несколько цепочек длины 14, так что $L(4) \geqslant 14$.

[mihiv]

Похоже,что простой закономерности для $L(k)$ нет.