Плотность распределения и коэффициент корреляции

[shur]

Если
плотность распределения случайной величины $X$ --- $f(x)$
плотность распределения случайной величины $Y$ --- $f(y)$

Означает ли это, что коэффициент корреляции Пирсона $|r_{XY}|=1$

Если да, то как это доказать?

Просто в формулу подставить?

[ИСН]

Ну подставьте, если есть куда. Интересно, что получится.

[shur]

Да, просто 1 получилось! Ковариация равна дисперсии и все посокращалось!

[ИСН]

-- Пт, 2011-11-25, 01:19 --

Хотел бежать отсюда, но вернулся.
Давайте так. Вот пусть величина X распределена равномерно на (-1,1). Знаете такое распределение? Чему равна его плотность?

[shur]

$$f(x)=\left\{ \begin{matrix} 0, & x\le -1 \\ 0,5, & -1\le x\le 1 \\ 0, & x\ge 1 \end{matrix} \right$$

[ИСН]

Ага, хорошо. Теперь Y. Пусть она равна знаете чему? Пусть у нас будет $Y=-X$. Какое тогда будет распределение у величины Y?

[shur]

ИСН в сообщении #507580 писал(а):

Ага, хорошо. Теперь Y. Пусть она равна знаете чему? Пусть у нас будет $Y=-X$. Какое тогда будет распределение у величины Y?

На том же отрезке? Походу такое же распредление будет и у $Y$

[ИСН]

Ну а теперь как-нибудь посчитайте корреляцию между X и Y.

[shur]

Ну раз плотности -- одинаковые, то $EX=m$

$EY=E(-X)=-m$

$DX=DY=EX^2-m^2=EY^2-m^2$

Тогда

$$\operatorname {cov}(X,Y)=E\Big((X-m)(Y+m)\Big)=E(XY)+mEX-mEY-m^2=E(X\cdot(-X))+mEX-m(E(-X))-m^2=$$

$$=-EX^2+mEX+mEX-m^2=-EX^2+2m^2-m^2=m^2-EX^2=-(EX^2-m^2)=-DX$$

$r_{XY}=\dfrac{\operatorname {cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\dfrac{-DX}{DX}=-1$

В Принципе, что и требовалось доказать)

[ИСН]

Зачем было таскать за собой это m? Разве неясно, что оно равно... а, ладно, не буду говорить.
Ладно, это мелочи. Теперь главное.
Пусть X тот же самый, зато теперь $Y=2|X|-1$. Какое будет распределение у Y? Какая корреляция?

[Евгений Машеров]

Не означает и не возбраняет.
Доказывать, таким образом, нечего.

[ИСН]

Поздно. Клиент уже удалился в полной уверенности, что порошок против акул работает.
До встречи с первой акулой.