Вращение круга в круге

[Unconnected]

Есть круг радиуса R, в него помещён круг в два раза меньшего радиуса r, как показано на рисунке. При "качении" (слово-то какое) внутреннего круга во внешнем центр его будет тоже описывать окружность, как я понимаю.. а точка А (лежит на каком-то расстоянии от центра младшего круга) - якобы эллипс опишет. Нужно узнать закон смещения точки A при прокатывании младшего круга на такое расстояние, что радиус-вектор центра маленького круга образовывал угол $\alpha$ с его исходным положением.
Разбирали на паре, но я как-то прохлопал( Вывел координаты центра младшего круга, $(r\cdot\cos(\alpha),r\cdot\sin(\alpha))$. А для A не соображу..

[svv]

Перерисуйте рисунок с новым положением малого круга.
Рассмотрите треугольник: центр большого круга, центр малого круга, интересующая точка.
Из этого треугольника по правилу треугольника найдите радиус-вектор интересующей точки как сумму двух очевидных векторов.

[alcoholist]

Эта такая небольшая деформация гипоциклоиды

[Yu_K]

http://www.propro.ru/graphbook/gp/geom/001/geometr_04/geom_05.htm#048

[Unconnected]

А как найти угол между радиус-вектором второго положения центра малого круга и вектором от этого центра до точки A ?

[svv]

Вам не нужен этот угол. Вам просто нужно сложить два вектора:
1. Из центра большого круга в центр малого: $((R-r)\cos\alpha, (R-r)\sin\alpha)$.
2. Из центра малого круга в нужную точку: $(r \cos\beta, r \sin\beta)$.
Будьте внимательны, у меня обозначения другие. (И каков смысл величин $R, r, \alpha, \beta$ ?)

Чтобы решить задачу, Вам нужно из каких-то соображений найти угол $\beta$. Он, как и $\alpha$, отсчитывается против часовой стрелки, и потому уменьшается с ростом $\alpha$.

[Unconnected]

С урока помню, что там упоминался центральный угол.. возможно, из тех соображений, что угол $\alpha $ центральный для большой окружности и равен "пройденной" дуге, а угол $\beta$ центральный для малой окружности и опирается изначально на дугу 180 градусов, и уменьшается. Радиус в 2 раза меньше, угол видимо тоже..
А вот Ваши обозначения не очень понял, где там точка отсчёта лежит вообще.. Или там вообще так изменено, что $r$ может обозначать даже расстояние до точки A?
Рисунок такой возможно:

[svv]

$R$ -- радиус большого круга
$r$ -- радиус малого круга
$R-r$ -- расстояние от центра большого круга до центра малого круга
$\alpha$ -- направление вектора из центра большого круга в центр малого круга
$\beta$ -- направление вектора из центра малого круга в точку $A$
(проводим из центра малого круга луч горизонтально вправо, параллельно оси абсцисс, и от него отсчитываем угол против часовой стрелки)
Смысл $\beta$ -- угол поворота малого круга вокруг своего центра. Так как при качении против часовой стрелки сам малый круг вращается по часовой стрелке, угол $\beta$ с ростом $\alpha$ становится всё более и более отрицательным.

С этими обозначениями легко решить и более общую задачу -- случай произвольных радиусов $r<R$.
Утверждается, что нет никакой пользы в том, чтобы с самого начала рассматривать $R=2r$. Только путаница.

И еще раз: Вам совершенно не нужен тот угол, который Вы сами обозначили $\beta$.

[Unconnected]

Цитата:

$R-r$ -- расстояние от центра большого круга до центра малого круга

А где у Вас начало координат, там же где и на моём рисунке? В таком случае, $R-r$ будет направлен от центра малого до центра большого (а не наоборот, как написано).

[svv]

Начало координат в центре большого круга.
$R$ и $r$ -- это не векторы (иначе я бы их обозначил $\vec R, \vec r$ или $\mathbf{R}, \mathbf{r}$). Это скалярные величины. Поэтому разность $R-r$ никуда не направлена, это только разность радиусов. Она, как легко догадаться, равна расстоянию от центра большого круга до центра малого круга.

Пусть $O$ -- центр большого круга, $M$ -- центр малого круга, $A$ -- нужная точка.
Тогда $\vec{OA}=\vec{OM}+\vec{MA}$, где
$\vec{OM}=((R-r)\cos\alpha,\; (R-r)\sin\alpha)$
$\vec{MA}=(r \cos\beta,\; r \sin\beta)$
В скобках через запятую -- компоненты соответствующего вектора.

Чтобы написанное не было просто решением задачи, я оставил для Вас вопрос, как выразить $\beta$ через $\alpha$.

[Unconnected]

$\vec{MA}=(r \cos\beta,\; r \sin\beta)$
Я, может, совсем туплю, но почему тут $r$? От расстояния до $A$ вообще не зависит, что ли? $A$ как бы лежит на этом векторе, но всё равно, он не в эту точку, а дальше..
//p.s. на всякий случай, А лежит произвольно на малом радиусе, справа от центра малого круга.

[Unconnected]

А, кажется понял.. тут всё на угле завязано..

[svv]

Unconnected, извините, я виноват. Я подумал, что $A$ лежит на окружности малого круга (причем сначала я так не думал, а потом в какой-то момент меня перемкнуло).

Исправление небольшое: в компонентах вектора $\vec{MA}$ надо заменить $r$ на $a=|MA|$, и получится:
$\vec{OA}=\vec{OM}+\vec{MA}$
$\vec{OM}=((R-r)\cos\alpha,\; (R-r)\sin\alpha)$
$\vec{MA}=(a \cos\beta,\; a \sin\beta)$

В порядке извинения привожу дальнейшее.
Связь между углами $\alpha$ и $\beta$ получается из условия отсутствия проскальзывания: $\beta=-\frac {R-r} r \alpha$. Отсюда
$\vec{MA}=(a \cos\frac {R-r}r \alpha,\; - a \sin\frac {R-r}r \alpha)$

Координаты точки $A$:
$x=(R-r)\cos\alpha+a \cos\frac {R-r} r \alpha$
$y=(R-r)\sin\alpha-a \sin\frac {R-r} r \alpha$
Сравните с формулами в Википедии, статья Гипоциклоида. Отличие лишь в том, что они рассматривают случай $a=r$ и вводят отношение радиусов $k=R/r$.

Теперь используем то, что $R=2r$:
$x=r\cos\alpha+a \cos \alpha = (r+a)\cos\alpha$
$y=r\sin\alpha-a \sin \alpha = (r-a)\sin \alpha $
Последние формулы выражают зависимость координат подвижной точки $A$ от $\alpha$.

Если требуется траектория, делаем так:
$1=\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \frac {x^2}{(r+a)^2} + \frac {y^2}{(r-a)^2}$,
то есть это эллипс с полуосями $r+a$, $r-a$.

[Unconnected]

Всё понял, кроме этого:

Цитата:

Связь между углами $\alpha$ и $\beta$ получается из условия отсутствия проскальзывания: $\beta=-\frac r {R-r}\alpha$.

Имеется в виду, что дуга "проходится" одна и та же для обеих окружностей, значит отношение углов будет равно отношению разницы радиусов к меньшему?

[svv]

Да.

Скажите, а Вам понятно, почему при положительных $\alpha$ угол $\beta$ отрицательный? Потому что $\beta$ -- это угол поворота малого круга относительно своего центра, а катясь против часовой стрелки, сам он вращается по часовой стрелке.