Разбиение пространства плоскостями (подсчет числа частей)

[ewert]

Unconnected в сообщении #507225 писал(а):

А так, формулу суммы квадратов от 1 до n знаю..

Между прочим, напрасно Вы её знаете. Задача решается регулярно, независимо от знаний и незнаний конкретных формул:

$P_{n+1}-P_n=\frac{n^2+n+2}{2}$

-- это некоторое простенькое разностное уравнение. Решение которого стандартно ищется в виде $C+n(pn^2+qn+r)$, где $p,q,r$ получаются подстановкой этого выражения (при $C=0$, например) в уравнение, после чего $C$ находится из начального условия $P_1=2$. И ровно так же -- для любой дальнейшей размерности.

[Unconnected]

А почему оно имеет такой вид, решение-то? Похоже на характеристический многочлен, когда-то пользовался, а вывода формул не нашёл.

[ewert]

Теория такая есть.

Результат, естественно: $P_n=\frac{n^3+5n+6}{6}$.

[vvsss]

Задача 5.1. Разбиение пространства на части плоскостями общего положения
Задание. На сколько частей N делят пространство n плоскостей общего положения?


Задача 6. Разбиение пространства на части пересекающимися сферами
Задание. На сколько частей N разделят пространство n пересекающихся сфер общего положения?
Определение: (предложите ученикам его сформулировать). Сферы общего положения – это сферы, которые попарно пересекаются, причём никакие четыре сферы в одной точке не пересекаются.
Поиск гипотезы. Если сфера одна, то 1 часть внутри, одна вне, N(1) = 2. Если сфер две, то 1 часть внутри обеих, по одной внутри каждой сферы, но вне другой, 1 часть вне сфер, N(2) = 4. Если сфер три, то 1 часть внутри всех, 3 части внутри пар, 3 части внутри только одной сферы и 1 часть вне сфер. Всего N(3) = 8 частей. Если сфер четыре, то 1 часть внутри всех, 4 части внутри троек сфер, 6 частей внутри пар сфер, 4 части внутри только одной сферы и 1 часть вне сфер. Всего N(4) = 16 частей. На рисунке четвёртая (красная) сфера добавлена на четвёртом шаге. Затем остальные сферы удалены и оставлены их следы на четвёртой. Легко видеть 8 частей, на которые окружности, следы трёх сфер, делят четвёртую. 1 часть - криволинейный треугольник АВС, 3 части - треугольники, прилегающие к его рёбрам, 3 части прилегают к его вершинам и 1 часть - вне кругов. Всего 8 частей. Понятно, что N(4) = N(3) + 8 = 16.
Ищем кубическую формулу вида N(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D. Система уравнений метода неопределённых коэффициентов: .
Формулируем нашу гипотезу: .
При этом для n + 1 формула примет вид
N (5) = 30, N (6) = 52, N (7) = 84, N (8) = 128, N (9) = 186, N (10) = 260.
Докажем справедливость формулы методом математической индукции.
База индукции. Если n0 = 1, N(1) = , формула справедлива.
Индукционный шаг: Исследуем процесс добавления (n + 1)-ой сферы. Замечаем, что (n + 1)-ая сфера пересекает каждую из остальных n сфер по окружности. На ней как бы нанесены n окружностей, которые делят её на n^2 – n + 2 частей. Каждая из этих частей добавляет к разбиению пространства одну часть. N (n + 1) = N(n) + n^2 – n + 2. .
Оба условия принципа математической индукции выполнены, значит, наша гипотеза верна.
Ответ: .
Закрепление материала.
Задача 6.1. Найдите число частей N (n, k), на которые делят пространство n сфер почти общего положения, если число точек пересечения трёх сфер равно k.
Определение: (предложите ученикам его сформулировать) Сферы почти общего положения – это сферы, которые попарно пересекаются, причём число точек пересечения четырёх сфер равно k и нет точек, в которых пересекается большее число сфер.
Ответ: n(n^2-3n-8)/3 , N (n, k) = N (n) – k.