остаток от деления многочлена на многочлен

[kakaskin]

стандартная задачка: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен $x-1$ равен 5, а при делении на $x+2$ равен -3. Найти остаток от деления этого многочлена на трёхчлен $x^2+x-2$.
варианты ответов:
$2\frac {2} {3}x + 2\frac {1} {3}$
$2\frac {2} {3}x - 2\frac {1} {3}$
$- 2\frac {2} {3}x + 2\frac {1} {3}$
$- 2\frac {2} {3}x - 2\frac {1} {3}$

как это вообще решается?
то есть понятно, например, что (x-1)(x+2)=x^2+x+2 и
можно расписать, что, P(x) = A(x-1) + 5, а P(x)=B(x+2) - 3
только вот что делать дальше, я слабо представляю

[ИСН]

kakaskin в сообщении #507108 писал(а):

Найти остаток от деления этого многочлена на трёхчлен $x^2+x-2$

Чем (сущностью какой природы) является этот остаток? Те два остатка, которые нам известны - они, например, были числами. А этот?

[kakaskin]

двучлен, как я понимаю.

[ИСН]

ага. так. то есть как его в общем виде записать?

[kakaskin]

просто варианты ответов есть, и когда-то это давали на централизованном тестировании в Беларуси, так что решаться должно просто
$ P(x)=C(x^2+x-2) + ax + b $

[ИСН]

Разумеется, просто. Теперь так: остаток от деления всего этого (записанного в общем виде) на $x+2$ - чему равен?

[spaits]

kakaskin в сообщении #507120 писал(а):

просто варианты ответов есть, и когда-то это давали на централизованном тестировании в Беларуси, так что решаться должно просто
$ P(x)=C(x^2+x-2) + ax + b $

$C(1)=0$, $C(-2)=0$.
Тогда в Ваше уравнение подставьте $x=1$ и $x=-2$.
Получите систему двух уравнений для вычисления $a$ и $b$.
Совет ИСН пригодится для определения левой части написанных Вами уравнений.

[kakaskin]

$-2a+b$, если я ничего не путаю

-- 23.11.2011, 22:38 --

спасибо.

-- 23.11.2011, 22:45 --

здоровенное спасибо, всё действительно страшно просто

[spaits]

kakaskin в сообщении #507151 писал(а):

если я ничего не путаю

Но это не остаток от деления: $-2a+b$.

-- Чт ноя 24, 2011 12:28:06 --

Прыгали через кота, перепрыгните через хвост.

[ewert]

kakaskin в сообщении #507120 писал(а):

на централизованном тестировании в Беларуси, так что решаться должно просто
$ P(x)=C(x^2+x-2) + ax + b $

Просто и решается, истинно по-тестовому. Из Вашего замечательного равенства сразу же следует, что значения как исходного многочлена, так и остатка $ax+b$ в этих двух точках должны совпадать. Надо факт совпадения просто проверить подстановкой, и никаких систем. (Собственно, уже подстановка единички мгновенно вырубает все варианты ответа, кроме одного.)

[spaits]

ewert в сообщении #507397 писал(а):

kakaskin в сообщении #507120 писал(а):

на централизованном тестировании в Беларуси, так что решаться должно просто
$ P(x)=C(x^2+x-2) + ax + b $

Просто и решается, истинно по-тестовому. Из Вашего замечательного равенства сразу же следует, что значения как исходного многочлена, так и остатка $ax+b$ в этих двух точках должны совпадать. Надо факт совпадения просто проверить подстановкой, и никаких систем. (Собственно, уже подстановка единички мгновенно вырубает все варианты ответа, кроме одного.)

ewert, подстановка единички ничего не вырубает.
Подстановка единички дает уравнение: $a+b=5$.
Подстановка $x=-2$ дает: $-2a+b=-3$.
Решение системы дает: $a=\frac83$; $b=\frac73$.
Искомый остаток: $ax+b=\frac{8}{3} x + \frac{7}{3}$.

[ewert]

spaits в сообщении #507516 писал(а):

ewert, подстановка единички ничего не вырубает.

Всё мгновенно вырубает: подстановка единички даёт пятёрку для первого варианта, а для всех прочих -- ну откровенно нет, это ж бросается в глаза.

И остаётся лишь проверить, что минус двойка первому варианту не противоречит. Ну это тоже достаточно мгновенно.

Правда, остаётся ещё вопрос: насколько грамотны были составители задачки. Ну это уж вопрос стилистики.

[spaits]

ewert в сообщении #507547 писал(а):

spaits в сообщении #507516 писал(а):

ewert, подстановка единички ничего не вырубает.

Всё мгновенно вырубает: подстановка единички даёт пятёрку для первого варианта, а для всех прочих -- ну откровенно нет, это ж бросается в глаза.

И остаётся лишь проверить, что минус двойка первому варианту не противоречит. Ну это тоже достаточно мгновенно.

Правда, остаётся ещё вопрос: насколько грамотны были составители задачки. Ну это уж вопрос стилистики.

Как Вы вычисляли коэффициенты $a=\frac83$ и $b=\frac73$ в формуле остатка $y=ax+b$?
Задача составлена грамотно.
Подставляя значение $x=1$ и остаток $5$ в приведенную топикстартером формулу, получаем уравнение $a+b=5$. Подставляя $x=-2$ и остаток $-3$, получаем второе уравнение системы $-2a+b=-3$.
Из системы я вычислила значения $a$ и $b$, а как их вычислили Вы, ewert?

[nnosipov]

Хороший пример, очень наглядно демонстрирующий вред задач в тестовой форме. Как убедительно показал ewert, правильный ответ моментально "вычисляется" без всяких вычислений, при том достаточно знать банальную теорему Безу. А вот безусловно важную и полезную китайскую теорему об остатках в её конструктивной форме знать совсем не обязательно, чтобы пройти этот тест, хотя сама задача формально является частным случаем именно этой теоремы.

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #507397 писал(а):

уже подстановка единички мгновенно вырубает все варианты ответа, кроме одного

Це же тест! До жирафа дошло, о каких вариантах речь, а тогда достаточно одного взгляда на них, чтобы увидеть, какие вырубаются одной единичкой.

nnosipov в сообщении #507621 писал(а):

важную и полезную китайскую теорему об остатках в её конструктивной форме знать совсем не обязательно

В школьной программе таковой, разумеется, нет. Дай бог, чтобы про Безу слышали.