Методы оптимизации(теорема Куна-Таккера)

[PreVory]

Дана выпуклая область, заданная ограничениями-неравенствами, и функция определенная на ней. С помощью теоремы Куна-Таккера нашли точки, которые могут быть локальными минимумами. Как определить, являются ли найденные точки локальными минимумами?
Если функция была выпуклой, то понятно что единственная найденная тока будет локальным и глобальным минимумом. Если функция не является выпуклой, то мы можем найти из этих точке точку глобального минимума и она тоже будет локальным минимумом.
Есть подозрения, что такая точка будет локальным минимумом тогда и только тогда, когда найдется окрестность точки в области где функция будет строго выпуклой.
Если нашлась такая окрестность, то очевидно, что точка будет локальным минимумом. Как доказать это в обратную сторону и верно ли это?

[MaximVD]

PreVory в сообщении #506511 писал(а):

Есть подозрения, что такая точка будет локальным минимумом тогда и только тогда, когда найдется окрестность точки в области где функция будет строго выпуклой.

Если найдётся "окрестность точки в области", где целевая функция выпукла, и в этой точке выполнено необходимое условие минимума, то эта точка будет локальным минимумом. А вот обратное неверно. Например: пусть ограничения имеют вид $x \geqslant 0$, $x \leqslant 1$, а целевая функция
$f(x) = \begin{cases} 2x + x^2 \sin(\frac{1}{x}), x \ne 0,\\ 0, x = 0. \end{cases} $
Нетрудно проверить, что $x = 0$, это решение задачи, но ни в какой "окрестности" вида $[0, a)$ целевая функция не выпукла.

PreVory в сообщении #506511 писал(а):

Если функция была выпуклой, то понятно что единственная найденная тока будет локальным и глобальным минимумом.

Вообще говоря, это неверно. Во-первых точка не обязательно будет одна, во-вторых она может не оказаться точкой минимума.
Гарантировать что будет найдена единственная точка и она окажется глобальным минимумом можно, например, в случае, если все ограничения выпуклые, для них выполнено условие Слейтера, а целевая функция строго выпукла. Если целевая функция не строго выпуклая, но выполнены остальные условия, то может быть найдено много точек, но все они будут точками глобального минимума.

PreVory в сообщении #506511 писал(а):

Как определить, являются ли найденные точки локальными минимумами?

Например, можно проверить, что матрица вторых производных функции Лагранжа, неотрицательно определена, на подпространстве, касательном к поверхности, определяемой ограничениями, в данной точке.

Если интересно, то все эти вопросы хорошо изложены, например, в классической книге - Иоффе, Тихомиров "Теория экстремальных задач".