Найти подгруппы порядков 4 и 8 в данной группе.

[Reg_Paul]

Найти подгруппы $G$:
G\cong<a, b: a^{8}=e, b^{2}=e, b^{-1}ab=a^{7}>\par G=\left \{e, a, a^{2}, ..., a^{7}, b, ba, ba^{2}, ..., ba^{7}\right \}
С подгруппами 1, 2, 16 порядков проблем не возникло. Перебором нашел одну подгруппу 4 порядка - $\left \{e, a^{4}, b, ba^{4}\right \}$. Есть ли ещё 4 порядка? И как быть с 8 порядком? Перебором не хотелось бы, ведь можно не все подгруппы заметить.

Заранее спасибо за внимание.

[ИСН]

Что это "на самом деле?" Диэдральная группа какая-нибудь? Надо от этого идти.
Или так, на глаз: порядка 8 - $\left\{e,a...\right.$ и всё, что ими порождается. Порядка 4 тоже одна такая есть.

[bnovikov]

Reg_Paul в сообщении #506641 писал(а):

Перебором не хотелось бы, ведь можно не все подгруппы заметить.

Ну, например, так:

1) Подгруппы порядка 4 изоморфны ${\mathbb Z}_4$ или ${\mathbb Z}_2\oplus{\mathbb Z}_2$. Поэтому нужно найти все элементы порядка 4, а затем все пары элементов порядка 2, которые коммутируют между собой.

2) Пусть $H$ - подгруппа порядка 8. Тогда $H$ содержит коммутант $[G,G]$ (докажите!). Поэтому ей в факторгруппе $G/[G,G]$ соответствует подгруппа индекса 2. Значит, надо в $G/[G,G]$ найти все подгруппы индекса 2 и взять их полные прообразы.

Это не намного короче перебора, но зато "идейно".