Простые числа и пивные кружки

[vivaldi]

У любителя пива Васи имеются кружки, ёмкости которых (в литрах) образуют множество всех простых чисел вида $[\frac{n^2}{3}]$.
Вася желает набрать из бочки ровно 4 литра пива. Удастся ли это Васе?

[venco]

Среди этих кружек есть на 3 и 5 литров, а их уже достаточно, чтобы набрать 4 литра.

[vivaldi]

venco в сообщении #506336 писал(а):

Среди этих кружек есть на 3 и 5 литров, а их уже достаточно, чтобы набрать 4 литра.

Ммммм...да. Не умею я задачи придумывать. Надо Ксюшу из Кащенко ждать.

Ну, тогда переформулируем.

Найти все простые числа вида $[\frac{n^2}{3}]$

[venco]

Я их уже перечислил.
Они все делятся на $[\frac{n+1}3]$

Факт, конечно, интересный.

[nnosipov]

vivaldi в сообщении #506346 писал(а):

Найти все простые числа вида $[\frac{n^2}{3}]$

Нет, это откровенно скучно. А если $[n^2/p]$, где $p$ --- фиксированное простое? Но здесь, увы, уже при $p=7$ будут проблемы.

[Батороев]

vivaldi в сообщении #506346 писал(а):

Найти все простые числа вида $[\frac{n^2}{3}]$

Если $n$ кратно $3$, то ответ очевиден - за исключением $n=3$ простых чисел нет.

В остальных случаях квадраты чисел имеет остаток $1\pmod 3$,

следовательно, целая часть равна:

$\dfrac {n^2-1}{3}=\dfrac{(n-1)(n+1)}{3}$,

которая может быть простым числом только тогда, когда при делении одной из скобок на $3$ получается единица (случай $n=2$ в виду непростоты числа $1$ исключаем).