Простые задачи для разминки

[juna]

1.Решить уравнение $(((x^2-2)^2-2)^2-2)^2-…-2=0$, в котором $-2$ встречается $n$ раз.
2.Обозначим через $f^n(x)$ суперпозицию функции $f(x)$, т.е. $f^n(x)=f(f(f(..f(x)..)))$ - $n$ раз. Найти функцию $f(x)$, для которой $n=\frac{1}{(f^{n+1}(x))^2}-\frac{1}{(f(x))&^2}$

[RIP]

1) $x=2\cos\frac{\pi(2k+1)}{2^{n+1}}$, $k=0,1,\ldots,2^n-1$

Добавлено спустя 8 минут 59 секунд:

2) Например, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Добавлено спустя 4 минуты 26 секунд:

А лучше

$$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},&x\ne0;\\1,&x=0.\end{cases}$$

[juna]

Все верно.
Первое сводится к $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}=x$. Выражение слева содержит $n$ радикалов. Используем формулу $cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac 1 2 (1+cos x)}$ или $2cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{2+2cos(x)}$. Далее подставляя эту формулу саму в себя получаем: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}=2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})$. А дальше нужно учесть степень у $x$.
Во втором берем $n-1=\frac{1}{(f^n(x))^2}-\frac{1}{(f(x))^2}$. Предполагаем $\frac{1}{(f^n(x))^2}=\frac{1}{x^2}+n$, $\frac{1}{(f(x))^2}=\frac{1}{x^2}+1$. Получаем $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, $f^n(x)=\frac{x}{\sqrt{1+nx^2}}$. В последнем убеждаемся индукцией.