Ряд Фурье

[MyxTap]

Нужно решить уравнение теплопроводности методом Фурье.
Общее решение получилось такое:
$U = \sum_{n=0}^{\infty }a_n \cdot e^{\frac{-8\pi n^2}{9}t} \cdot \sin \frac{\pi n}{3}x$
Начальное условие:
$U(x,0) = 6\sin3\pi x$
То есть:
$\sum_{n=0}^{\infty }a_n \cdot \sin \frac{\pi n}{3}x = 6\sin 3\pi x $

Как отсюда найти коэффициент a?
По формуле $a_n = \frac{2}{3}\int_{0}^{3} 6\sin3\pi x \sin \frac{\pi n}{3}xdx $ ноль получается.

[ИСН]

Точно-точно ноль?

[MyxTap]

ИСН в сообщении #504205 писал(а):

Точно-точно ноль?

Да.

[ewert]

Нет.

Правая часть -- это одна из гармоник и, следовательно, ровно к ней весь формальный ряд и сведётся, ибо чудес не бывает. А ноль у Вас получился просто потому, что Вы не учли особый случай при интегрировании (явно ровно это ИСН в виду и имел).

[MyxTap]

ewert в сообщении #504210 писал(а):

Нет.

Правая часть -- это одна из гармоник и, следовательно, ровно к ней весь формальный ряд и сведётся, ибо чудес не бывает. А ноль у Вас получился просто потому, что Вы не учли особый случай при интегрировании (явно ровно это ИСН в виду и имел).

При n=9 $a_9 = 6$, то есть сумма исчезает ? Ответ будет $U = 6 \cdot e^{\frac{-8\pi n^2}{9}t} \cdot \sin 3 \pi x$?

[ewert]

Ну а куда ему, ответу, деваться-то. (Если, конечно, всё предыдущее верно.) Однако же правила приличия требуют, чтоб Вы не просто выписали этот ответ, но и формально обосновали -- почему вот именно этот коэффициент Фурье нулю не равен, а равен вот именно этому, в то время как все остальные выходят нулями.

[MyxTap]

ewert в сообщении #504234 писал(а):

Ну а куда ему, ответу, деваться-то. (Если, конечно, всё предыдущее верно.) Однако же правила приличия требуют, чтоб Вы не просто выписали этот ответ, но и формально обосновали -- почему вот именно этот коэффициент Фурье нулю не равен, а равен вот именно этому, в то время как все остальные выходят нулями.

Хорошо, спасибо!