ввести на группе матриц структуру гладкого многоообразия

[mraks]

ввести на группе ортогональных матриц из R размером 3x3 - O(3) структуру гладкого многообразия, указав атлас, проверить ориентируемость и найти дифференциал отображения: (А -> первый столбец А) в точке A = E (в смысле единичная матрица )
заранее спасибо за помощь)

[alcoholist]

mraks в сообщении #504157 писал(а):

ввести на группе ортогональных матриц из R размером 3x3 - O(3) структуру гладкого многообразия, указав атлас

Воспользуйтесь теоремой о прообразе регулярного значения (подходящего отображения $f:\mathbb{R}^9\to\mathbb{R}^6$). Строить атлас руками здесь можно устать.

Или вспомните, что $O(3)$ является объединением двух копий $SO(3)=\mathbb{R}P^3\simeq S^3/x\sim -x$ и получите искомый атлас из атласа $S^3$, состоящего из пар карт, переходящих друг в друга при центральной симметрии.

mraks в сообщении #504157 писал(а):

найти дифференциал отображения: ($F:A\to\,\mbox{первый столбец}\,A$) в точке A = E

Здесь надо понимать, какова гладкая структура на множестве "первых столбцов"!

Если она индуцирована из $\mathbb{R}^3$ естественным образом, то:
кривые на $O(3)$, проходящие через $E$, -- это в точности $e^{tS}$, где $S^T=-S$ -- кососимметрические матрицы, поэтому

$$ d_EF(S)=\lim_{t\to 0}\frac{F(e^{tS})-F(E)}{t}=F(S). $$

P.S. Хотя, это и так понятно -- дифференциал линейного отображения равен ему самому и ограничение на $O(3)\subset\mathbb{R}^9$ тут ничего не меняет

[mraks]

спасибо большое)
но проблема в том, что надо ориентируемость установить, а тут не обойтись без якобианов функций склейки, а для них нужны локальные координаты, а для них, соответственно, карты из атласа)

[alcoholist]

mraks в сообщении #504222 писал(а):

что надо ориентируемость установить

нечетномерные проективные пространства ориентируемы:)))

Кстати, в англоязычной википедии есть статья про карты на $SO(3)$

[mraks]

ещё раз большое спасибо! :)