Координаты пересечения движущихся прямых

[Unconnected]

Привет всем.
Есть две не-параллельные прямые на плоскости, они движутся "параллельным переносом", известны направляющие векторы обеих прямых и их векторы скорости. Нужно найти вектор скорости точки пересечения этих прямых.
У меня вроде как получилось решить с помощью уравнения прямой (kx+b).. т.е. посчитал приращения за момент времени, ответ получился огромный и страшный, надо не так наверное..

[svv]

Любую прямую, если только она не проходит через начало координат, можно задать одним вектором $\mathbf{b}$ -- это радиус-вектор ближайшей к началу координат точки прямой. Этот вектор перпендикулярен прямой (и её направляющему вектору), и уравнением прямой будет $(\mathbf{r}-\mathbf{b}, \;\mathbf{b})=0$.

В Вашей задаче $\mathbf{b}$ зависит от времени. Например, так: $\mathbf{b}=\mathbf{b_0}+\mathbf{c}t$. Удобно сдвинуть начало координат так, чтобы в нулевой момент времени оно совпадало с точкой пересечения прямых (это, несмотря на предупреждение выше, не страшно -- просто не будем в этот момент пользоваться таким уравнением). Тогда $\mathbf{b_0}=0$, $\mathbf{b}=\mathbf{c}t$, а уравнение прямой принимает вид $(\mathbf{r}-\mathbf{c}t, \;\mathbf{c})=0$. Ясно, что $\mathbf{c}$ -- вектор скорости смещения прямой, он тоже перпендикулярен прямой.

Запишем уравнения обеих прямых:
$\begin{cases}(\mathbf{r}-\mathbf{c_1}t,\; \mathbf{c_1})=0\\(\mathbf{r}-\mathbf{c_2}t, \;\mathbf{c_2})=0\end{cases}$
Выбираем момент времени $t$ и находим из этой системы $\mathbf{r}$.

Указание. Ищите его в виде $\mathbf{r}=a_1 \mathbf{c_1}+ a_2 \mathbf{c_2}$.

[Unconnected]

svv, извините, что сразу не отреагировал, я только сегодня заглянул сюда и пока разбирал решение, решил параллельно запостить ещё одну задачу. Помогли, большое спасибо :)

ps: почему-то не нахожу, как поднимать репутацию..

[svv]

Спасибо, буду спокоен.

[Munin]

Чё-то всё это сложение ковекторов напоминает. Не подскажете, как в таком виде переформулировать решение?

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #503956 писал(а):

Чё-то всё это сложение ковекторов напоминает. Не подскажете, как в таком виде переформулировать решение?

Как-то сомнительно, уж сильно сложно устроено пространство модулей.

-- Вт ноя 15, 2011 11:14:43 --

Хотя не так уж и сложо: $\mathbb{R}P^1 \times \mathbb{R} \cong \mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}$. Поскольку трансляция действует только на второй сомножитель, то и правда логично искать решение как $ax + by$, где $a, b$ зависят от направления соответствующих прямых.

[bot]

(Оффтоп)

Unconnected в сообщении #503936 писал(а):

почему-то не нахожу, как поднимать репутацию..

Здесь в эти бирюльки не играют.

[Профессор Снэйп]

Можно упростить решение, перейдя в систему отсчёта одной из прямых (естественно, в конце надо не забыть вернуться к исходной системе отстчёта)

[TOTAL]

А почему просто не найти координаты точки пересечения $x, y$ из системы
$a_{11}x+a_{12}y=b_1+ v_1t$
$a_{21}x+a_{22}y=b_2+ v_2t$
где $v_1, v_2$- скорости прямых, $a_{11}^2+a_{12}^2=a_{21}^2+a_{22}^2=1$?

[Kallikanzarid]

bot в сообщении #503992 писал(а):

Здесь в эти бирюльки не играют.

Здесь не бесполезный буржуазный стэк, а наноправославный форум

[Профессор Снэйп]

Ещё вариант решения.

Рассматриваем время как третью координату. Вместо "динамического" объекта - движущейся прямой будем иметь "статический" объект - плоскость в $\mathbb{R}^3$. Уравнение этой плоскости (хоть в каноническом, хоть в каком другом виде) выписывается тривиально.

Ну а далее... есть две движущиеся прямые, находим две соответствующие им плоскости, затем прямую, являющуюся пересечением этих двух плоскостей и направляющий вектор этой прямой. Если направляющий вектор оказался равным $(x_0, y_0, t_0)$, то вектор скорости точки пересечения двух прямых будет равен $(x_0/t_0, y_0/t_0)$.

[svv]

Munin в сообщении #503956 писал(а):

Чё-то всё это сложение ковекторов напоминает. Не подскажете, как в таком виде переформулировать решение?

Будем искать в $\mathbb{R}^n$ точку пересечения $n$ гиперплоскостей размерности $n-1$. Считаем, что никаких вырождений нет. Дальше слово "плоскость" означает "гиперплоскость".

Рассмотрим сначала одну плоскость.
Её уравнение: $\alpha_i x^i = t$, где $x^i$ -- $i$-я координата, $t$ -- параметр ("время"), соглашение о суммировании.
Тогда, как и требуется, плоскость движется равномерно, а при $t=0$ проходит через начало координат.
Сопоставим ей ковектор $\alpha=(\alpha_1, ... , \alpha_n)$. Он задает семейство плоскостей; конкретная плоскость в семействе определяется значением $t$.
Пусть $x=(x^1, ... , x^n)$ -- радиус-вектор точки с координатами $x^i$.
Тогда уравнение плоскости: $\alpha(x)=t$, или "значение ковектора плоскости на радиус-векторе точки равно значению параметра, при котором плоскость проходит через эту точку".

Теперь рассматриваем $n$ плоскостей. Обозначаем их ковекторы $\alpha^{(k)}$, $k=1..n$ и рассматриваем их как базис. (Индексы, нумерующие векторы/ковекторы в базисе, заключаются в скобочки.)
Тогда задача переформулируется так: найти вектор $x$, такой, что значение всех $\alpha^{(k)}$ на нем равно $t$.
Так как $x$ линейно зависит от $t$, достаточно рассмотреть $t=1$:
Найти вектор $x$, удовлетворяющий условиям: $\alpha^{(k)}(x)=1$, где $k=1..n$.

Решение. Построим базис векторов $e_{(i)}$, дуальный базису $\alpha^{(k)}$, то есть $\alpha^{(k)}(e_{(i)})=\delta_i^k$.
Тогда в базисе $e_{(i)}$ координаты искомого вектора $x$ равны значению базисных ковекторов на нем: $x^k=\alpha^{(k)}(x)=1$, то есть $x=(1, ... , 1)$.

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #503994 писал(а):

Можно упростить решение,

Ну наконец-то; а то тут всё уж с ума сошли, об Вас беспокоючись.

Есть лобовой способ решения. Оно стало бы тривиальным, если б вектор скорости для первой прямой был бы коллинеарен направляющему вектору другой прямой и наоборот. Ну так надо попросту спроецировать скорость первой прямой на ортогональное к этой прямой направление. А потом, наоборот, подобрать коллинеарный направляющему для второй прямой вектор скорости первой так, чтобы его проекция на ту самую ортогональ была бы ровно такой же (это всё делается во вполне замкнутой форме). И для второй прямой сделать ровно то же.

Не уверен, что можно существенно упростить получающиеся при таком подходе рабочие формулы. Хотя вполне могу и ошибаться, конечно.

[Munin]

svv
Спасибо. Правда, вы полагаетесь на то, что плоскостей столько же, какова размерность пространства, и сами они коразмерности 1. А если не так? Впрочем, возможно, будет уже некрасиво.

ewert в сообщении #504207 писал(а):

Не уверен, что можно существенно упростить получающиеся при таком подходе рабочие формулы.

Формулы - вряд ли, а вот рисунок очень нагляден.

[svv]

Munin писал(а):

плоскостей столько же, какова размерность пространства, и сами они коразмерности 1

Да, как и в исходной задаче. Всё же моё небольшое обобщение помогло найти естественную интерпретацию для сущностей задачи. В двумерном случае мне это было трудно сделать. Например, я понял, что при самом-пресамом ковекторном рассмотрении конечный результат всё-таки естественно понимать как вектор.