Дифференциальная геометрия! Задача!

[svv]

Еще одна попытка понять Mathematica 7.
Коэффициенты параболы не такие?

a11=0,06666666
a12=0
a22=0
a1 =-0,26666666
a2 =-0,03333333
a0 = 1

Хоть примерно

3.14 писал(а):

Но проходит ли наши кривые через данные точки?

Надо подставить найденные коэффициенты и координаты точки, которую хотите проверить, в выражение
$a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0$
Если значение получится 0 (или очень малое число, типа 1e-12), то кривая проходит через эту точку.
Затем точно так же проверяются остальные три точки.
Конечно, это не вручную делается, пусть Mathematica считает.

[3.14]

коэффициенты в точности такие..

-- 14 ноя 2011, 23:02 --

и есть еще одни набор таких коэффициентов...

-- 14 ноя 2011, 23:08 --

я первые две точки подставил в параболу и они в точности дают ноль!!) остальные лень проверять) но думаю, что и в этих точках нас ждет успех)

-- 14 ноя 2011, 23:15 --

точка (5,0) дает такое число: $2.22045\cdot 10^{-16}$
точка (2,3) опять дает чистый ноль!

[svv]

Так тогда все в порядке.
Если умножить все коэффициенты на 15 (что, как я говорил, операция совершенно корректная, и новые коэффициенты соответствуют той же кривой), то Вы получите:

a11=1
a12=0
a22=0
a1 =-4
a2 =-0,5
a0 = 15

Это соответствует кривой $x^2-2\cdot 4 x -2\cdot \frac 1 2 y +15 =0$, а это уравнение в три секунды приводится к виду $y=(x-4)^2-1$, это та первоначальная, самая правильная парабола. Она проходит через все точки (убеждаемся тем же способом -- подстановкой координат).

А, кстати, для контраста подставьте координаты какой-то "левой" точки, например, $(2, 8)$. У Вас уже не будет $10^{-16}$.

[3.14]

Ухх..все-таки пощипала нервы эта Mathematica..)) Так еще мне, как минимум, целый месяц предстоит в ней работать, пока курс дифгема не закончится..)
Кстати, насчет $(2,8)$ это верно..Я подставил и получил $-0.333333$.

-- 14 ноя 2011, 23:38 --

кстати, насчет умножения на 15,из которого все красиво вытекает..Извините, я не понял, а вот число 15 вы откуда нашли? И можно ли так проделать с параллельными прямыми, которые еще получились в добавок к параболе?..

[svv]

Ну, у меня мысль развивалась в противоположном направлении.
Я нарисовал Ваши точки и увидел, что это просто парабола $y=x^2$, которая сдвинута вправо на $4$ и вниз на $1$, то есть $y=(x-4)^2-1=x^2-8x+16-1=x^2-8x+15$.
Вы видите, что в этой форме $a_0=15$. Значит, чтобы привести эти коэффициенты к виду, при котором $a_0=1$ (так мы ставили задачу перед Mathematica), надо их поделить на $15$.

Mathematica нашла решение, и, конечно, $a_0=1$. Теперь, чтобы вернуться к красивым коэффициентам, совершаем обратную операцию. Но "секретный множитель" известен мне только потому, что у меня в руках уже было решение, полученное другим способом, а там $a_0=15$.

В общем случае, конечно, не обязано существовать какой-то более красивой или правильной нормировки. На сколько хотите, на столько и умножаете -- все равно круглых чисел не добъетесь.