Теория Вероятностей

[SpBTimes]

Здравствуйте. Не подскажите ли, можно ли как-то аналитически получить формулу вероятности осуществления m из n событий?
Собственно задача вот в чём: Есть 2 колоды карт (колоды одинаковые, все карты в колоде различны, карт n штук), их перемешали. Построить ряд распределения случайной величины x - кол-во карт, лежащих на одинаковых местах в двух колодах.
Я могу, скажем, почитать вероятность того, что не менее, чем одна карта будет лежать на одинаковых местах, отсюда получается и вероятность, что ни одна карта не будет лежать на одинаковых местах.
А как посчитать вероятность того, что хотя бы 2 карты лежат на одинаковых местах - не знаю. Знал бы - смог бы получить и ровно 2 карты на одинаковых местах.
Подскажите, пожалуйста.

[Shadow]

Если можете посчитать вероятность, что ни одна из $n$ не будет на месте, можете посчитать и что первые $k$ будут на месте, а осталные $n-k$ нет. И результат умножит на $C_n^k$. Это будет вероятность что ровно $k$ будут на месте.

[SpBTimes]

Shadow в сообщении #503462 писал(а):

можете посчитать и что первые $k$ будут на месте

так вот и вопрос - как? Я что-то никак переход сделать не могу..

[--mS--]

SpBTimes в сообщении #503545 писал(а):

Shadow в сообщении #503462 писал(а):

можете посчитать и что первые $k$ будут на месте

так вот и вопрос - как? Я что-то никак переход сделать не могу..

Положите их на эти места и для верности прижмите чем-нибудь, дабы не сбежали.

[SpBTimes]

--mS--
а если точнее? :)

[Cash]

Выбрав любую карту из колоды есть 2 варианта:
1) она встала на место
Вероятность этого, очевидно, $1/n$. Остается распределить $n-1$ карт с совпадением по $k-1$ мест
2) она не встала на место.И тогда нужно найти вероятность совпадения $n-1$ карт на $k$ мест

Вероятность когда все карты "промажут" вы находить умеете.
Составляете рекуррентное уравнение и даже, возможно, находите явную формулу.

[--mS--]

SpBTimes, не понимаю, что конкретно вызывает затруднения. Напишите, какова вероятность:
а) что первая карта совпала в той и другой колодах;
б) что первая и вторая карты совпали;
в) что первая, вторая и третья карты совпали;
г) что первые $k$ карт совпали.

[SpBTimes]

а) $\frac{1}{n^2}$
б) $\frac{1}{n^2(n-1)^2}$
г) $\frac{1}{n^2(n - 1)^2 ... (n - k)^2}$

[Shadow]

Без квадратов. Примите, что одна колода зафиксирована. Вообще думайте об одной колоде. Что карта номер 1 будет на первой позиции, карта номер 2 - на второй...И умножив потом это на $C_n^k$ вообще $\frac{1}{k!}$ получится. А вот вторая чать задачи - определить что из $n-k$ ни одна не окажется на месте сложнее. Была недавно задача тут про женихов и невест с одинаковые группы крови. И ваша задача сводится к ней.

[--mS--]

SpBTimes в сообщении #503662 писал(а):

а) $\frac{1}{n^2}$
б) $\frac{1}{n^2(n-1)^2}$
г) $\frac{1}{n^2(n - 1)^2 ... (n - k)^2}$

Ни одного верного ответа. Тогда я не верю тому, что написано в первом сообщении: "Я могу, скажем, почитать вероятность того, что не менее, чем одна карта будет лежать на одинаковых местах". При её подсчёте все указанные вероятности вычислять приходится.

[SpBTimes]

--mS-- в сообщении #503668 писал(а):

Я могу, скажем, почитать вероятность того, что не менее, чем одна карта будет лежать на одинаковых местах

Там всё следует из ф-лы вероятности суммы.
Вероятность, что одна любая карта совпала - $1/n$
Вероятность, что две карты совпали: $\frac{1}{n \cdot (n-1)}$
Вероятность, что k карт совпали: $\frac{1}{n ... (n - k)}$

Ф-ла:
$p(A) = p(\sum_{i = 1}^n A_i) = \sum_{i = 1}^n p(A_i) - \sum_{i > j} p(A_iA_j) + ... + (-1)^{n - 1}p(A_1...A_n)$
В каждой сумме $C_n^k$ слагаемых.
Тогда:
$p(A) = 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - ...$
Соответсвенно, вероятность, что ни одна карта не совпала $p(B) = 1 - p(A)$

[SpBTimes]

SpBTimes в сообщении #503673 писал(а):

Вероятность, что k карт совпали: $\frac{1}{n ... (n - k)}$

$\frac{1}{n...(n - k + 1)}$, пардон.

Не ясно, как это обобщить на мой случай.

[Shadow]

Ваша формула верна. Можно записать. Вероятность, что ни одна из n не будет на месте:
$p(n)=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}...\frac{1}{n}$. До чего же знакомый ряд (при больших n).
Значит вероятность, что ровно k из n будут на месте:
$\displaystyle P(k,n)=\frac{p(n-k)}{k!}\approx\frac{1}{k!e}$
Тоже знакомая формула

[SpBTimes]

Shadow в сообщении #503736 писал(а):

До чего же знакомый ряд

Да, кусочек $e^{-1}$

Shadow в сообщении #503736 писал(а):

Значит вероятность, что ровно k из n будут на месте:

Этот переход не ясен..(

[Shadow]

SpBTimes в сообщении #503744 писал(а):

Этот переход не ясен..(

$\frac{1}{n}\frac{1}{n-1}\frac{1}{n-2}$...вероятность, что первые k будут на месте. И надо умножить на $C_n^k$. чтобы любые к были на месте. И получается просто $\frac{1}{k!}$