мера, отвечающая линейке с неравномерными засечками

[mclaudt]

Mера Лебега трансляционно-инвариантна и для таких целей не годится. Судя по всему, речь идет о квазиинвариантной мере (например, мера Гиббса в статфизике).

Возникает следующий вопрос.
Известно, что в теории вероятности для дискретной случайной величины можно выбрать как дискретное вероятностное пространство (тогда все характерные свойства переменной сидят в мере $P$, а сама случайная величина как вещественная функция $\xi(\omega)$ из $\Omega$ тривиально сопоставляет индексы элементов), так и непрерывное вероятностное пространство (тогда все характерные свойства переменной сидят в случайной величине как ступенчатой вещественной функции $\xi(\omega)$ из $\Omega$, а мера $P$ является обычной лебеговой).
При рассмотрении аналогичной конструкции для непрерывной случайной величины становится ясно, что, при заданной плотности вероятности $\rho(x)$, мера $P$ и сама случайная величина $\xi(\omega)$ играют взаимодополняющую роль, и если, допустить что мера может быть неинвариантной трансляционно, то можно видеть некий произвол в выборе пары $\{P, \xi\}$.

Должны, наверное, быть какие-то теоретико-категорийные соображения, чтобы охватить эту дуальность меры и функции одним понятием. Если это так, то какие именно? К каким обобщениям для физики это может приводить?