Помогите понять интуицию для Преобразований Лапласа

[jrMTH]

Зачем берётся интеграл, используется e в степени и что это всё означает?
т.е. как разлочить эту формулу в голове, чтобы была понятна интуиция.

спасибо

[Евгений Машеров]

А давайте начнём с решения инженерной задачи. Имеется ну хотя бы телеграфная линия. Что мы получим на выходе, если на входе стучат ключом Морзе? (задача глубоко прикладная - и когда владельцы первой трансатлантической телеграфной линии получили на выходе почти что постоянный ток - они глубоко пожалели, что не занялись прежде теорией).
Если на входе сигнал $f(t)$, а отклик на единичный импульс $g(t)$ - то выход есть свёртка $f(t) \ast g(t)$. Которая считается через интеграл, а его гг. инженерам считать сложно. Хотелось бы, как логарифмы упростили умножение, сведя к сложению, так и тут свести взятие интеграла к более простой операции, обращаясь при необходимости к таблицам. Интегрирование, разумеется, никуда не денется - но его можно выполнить при составлении таблиц преобразования, перепоруча математикам, а инженерам оставя пользование таблицей. То есть нам надо найти преобразование $L$ такое, чтобы $L$ от свёртки было бы чем-то более простым от $L$ от свёртываемых функций (не будем обижать гг. инженеров - не будет требовать, чтобы свелось к сложению, но хоть заменить свёртку умножением!). Преобразование будет включать в себя интеграл, который мы хотим "вытянуть" из инженерного расчёта и оставить только построителям таблицы преобразования. Подинтегральное выражение включает в себя преобразуемую функцию и ещё какую-то - на которую, если уж мы хотим свести к умножению, разумно умножать преобразуемую. В выражении для свёртки есть сдвиг - стало быть, умножаемая функция должна при сдвиге аргумента преобразовываться достаточно просто. Экспонента этому условию удовлетворяет, для неё сдвиг=умножение на константу. Вот и приходим к конструкции "Интеграл от исходной функции, умноженной на экспоненту". Но он будет числом, а мы хотели функции приобразовывать в функции - стало быть, показатель экспоненты включит в себя аргумент функции, к которой преобразуем. Подставляем, что получилось, в выражение для свёртки, сокращаем, где можем, и получаем, что "Преобразование от свёртки равно произведению преобразований свёртываемых". Ура, получилось! Смотрим прочие свойства, находим много полезных, типа работы с дифференцированием и интегрированием, запаздыванием и т.п. Полезная штучка, однако!

[jrMTH]

спасибо, очень хорошее разъснение.

[Munin]

Евгений Машеров
А вот объясните мне, зачем понадобилось выдумывать преобразование Лапласа, когда есть преобразование Фурье ровно с теми же свойствами? И намного более наглядное.

[ewert]

Munin в сообщении #502739 писал(а):

А вот объясните мне, зачем понадобилось выдумывать преобразование Лапласа, когда есть преобразование Фурье ровно с теми же свойствами? И намного более наглядное.

Неровно. И намного более ненаглядное.

Преобразование Фурье существенно комплексное, и это достаточно неудобно. Преобразование Лапласа -- вещественное. Конечно, за это приходится платить -- приходится допускать лишь оригиналы, тождественно равные нулю для отрицательных времён. Но ведь ровно это и нужно для решения дифуров.

[profrotter]

Преобразование Фурье обладает наглядностью. Куда уж более просто - речь идёт о разложении сигнала на совокупность гармонических составляющих. Можно говорить о спектрах, интерпретировать соответствующие графики, во многих случаях даже графически проводить анализ сути рассматриваемых явлений. Для инженеров самое оно.
Сравниваем преобразование Фурье и Лапласа для функций отличных от нуля только при положительном значении аргумента:

$$S(\omega)=\int\limits_{0}^{+\infty}s(t)e^{-i\omega t}dt$$

$$S(p)=\int\limits_{0}^{+\infty}s(t)e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt,$$

Где обозначено $p=\alpha + i \omega$ - параметр преобразования Лапласа. Видно, что в утрированном варианте преобразование Лапласа - это то же преобразование Фурье, только от функции $s(t)e^{-\alpha t}$. Это обеспечивает то, что при прочих равных условиях класс функций для которых существует преобразование Лапласа шире, чем класс функций для которых существует преобразование Фурье. Плюс ко всему преобразование Лапласа позволяет учитывать начальные условия. Какую-либо наглядность и интуитивность преобразованию Лапласа придать трудно и к нему следует отнестись как к математическому методу, который позволяет то, о чём писал Евгений Машеров.

[Евгений Машеров]

0. Как говарили богомазы в позапрошлом веке - "Ино рефтью, а ино и нефтью" (Рефть это чёрная краска, которой рисовали в том числе чертей, а белой нефтью разводили золото для нимба у святых).
Разные задачи требуют разных инструментов.
1. Но отказаться от "придумывания преобразования своего имени, поскольку уже есть преобразование Фурье", Лапласу было бы трудненько. Он его придумал почти за полвека до "Аналитической теории теплоты" (а ещё раньше были работы Эйлера).
2. Обычно под "преобразованием Лапласа" подразумевают односторонее п.Л. Где интеграл берётся от нуля до бесконечности. Есть и двустороннее. Причём преобразование Фурье есть двустороннее п.Л. с чисто мнимым аргументом, а при ненулевой вещественной части аргумента могут быть проблемы со сходимостью интеграла. Поэтому применение двустороннего п.Л. в общем случае затруднительно, и либо рассматривают одностороннее (что и именуют п.Л.), либо зануляют вещественную часть - но это преобразование Фурье, с точностью до обозначений. Причём есть задачи, где удобнее одно, есть - где другое.

[vladiko]

С точки зрения инженерии преобразование Лапласа ( двухстороннее ) очень полезно при рассмотрение неустойчивых систем, когда преобразование Фурье не применимо. Если же система устойчива то заменив $s$ на $j\omega$ получаем преобразование Фурье.
Евгений Машеров
Про свёртку имеет смысл говорить только при рассмотрении LTI систем.
При двустороннем п.Л. в общем виде всегда определяется ROC (область сходимости интеграла). Случай когда имеется образ без ROC , не имеет ни какого смысла.

[Munin]

ewert
Жаль, но научить чему-то у вас не получается.

profrotter
Евгений Машеров
vladiko
Итого, у преобразования Лапласа область применимости шире, за счёт функций, в некотором смысле растущих на бесконечности. Тогда понятно.

Просто я видел, как такие функции тоже "преобразовывались по Фурье", видимо, не очень-то корректно.

[profrotter]

Munin в сообщении #502903 писал(а):

Просто я видел, как такие функции тоже "преобразовывались по Фурье", видимо, не очень-то корректно.

Подобным безобразием мы как раз совсем недавно занимались в теме50981. Тут речь идёт о том, что преобразование Фурье функции, не удовлетворяющей условию абсолютной интегрируемости, рассматривается формально. В результате мы получаем нечто и, как правило, букет из $\delta$ - функций. И это говорит всё о том же - интеграл Фурье не сходится при всех сразу значениях частоты. Но с полученной структурой можно оперировать, иногда давать ей физическую интерпретацию и тп, но оперировать надо в подобных случаях очень аккуратно, ибо могут возникать различные трудноучитываемые фокусы.
Например, если я хочу найти спектральную плотность для функции Хэвисайда $\sigma(t)$ и применяю свойство дифференцирования, то после дифференцирования я получаю дельта-функцию, потом беру её спектральную плотность, равную единице, и делю на $i \omega$, в результате чего получаю $\Sigma(\omega)=\frac 1 {i \omega}$. Действуя таким же образом при определении спектра функции $\frac 1 2 sign(t)$ я также получу $\frac 1 {i \omega}$. Фокус тут в том, что при доказательстве свойства дифференцирования знак дифференцирования загоняется под знак интеграла, чего делать нельзя, если интеграл не сходится. (если я тут не прав, прошу меня поправить).
Другой фокус, который усердно скрывают большинство, по крайней мере, технических учебников, и который даже приводит в выдаче некорректных заданий студентам, вроде того, что в теме51025, основан на связи преобразования Фурье и Лапласа. В своём сообщении выше я привёл рядом выражения для этих преобразований. Сопоставляя эти выражения любой нормальный человек делает вывод, что преобразование Фурье получается из преобразования Лапласа путём замены $p=i \omega$. И тут ускользает главное: такая замена означает назначение $\alpha=0$, а это означает, что контуром интегрирования в обратном преобразовании Лапласа становится мнимая ось. Теперь ищу изображение функции Хэвисайда и честно получаю $\overline{\Sigma}(p)=\frac 1 p$ и, если незадумываясь сделаю замену, то для спектральной плотности получу $\Sigma(\omega)=\frac 1 {i \omega}$, что тоже получают во многих учебниках, при анализе линейных систем. Между тем упускается из виду, что теперь подынтегральное выражение в обратном преобразовании имеет полюс (в точке 0) на контуре интегрирования, что глубоко уводит в ТФКП и при корректном анализе ситуации даёт для спектральной плотности функции Хэвисайда $\Sigma(\omega)=\frac 1 2 \delta(\omega) + \frac 1 {i \omega}$. (Вот, кстати, уже и она - дельта-функция ) После чего можно, наконец, сказать, что первоначально полученный результат $\frac 1 {i \omega}$ относился именно к знаковой функции, что впрочем, итак можно было понять, если учесть, что у функции Хевисайда присутствует постоянная составляющая, а $sign(t)$ нечётно-симметричная и её спектральная плотность обязана быть чисто мнимой.
Эти ньюансы касались всего навсего ограниченных по уровню, но не удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости функций. Похожие вещи, кстати будут с гармоническими функциями. А если функция к тому же будет возрастать, возможно, диапазон ньюансов будет расширен.

[Munin]

В общем, на пальцах понятно, что половинка сигнума отличается от хэвисайда на константу, а значит, образ должен отличаться на слагаемое - образ этой константы, то есть как раз на дельту. Но дельта, прибавленная в полюсе - это достаточно непривычно, чтобы про неё и забыть ненароком :-)

[vladiko]

Функция хевисайда $\sigma(t)=0.5(1+sign(t))$ ,уже из этого определения видно что в образе Фурье будет дельта функция.
И если уже быть точными до конца то, $\Sigma(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{i\omega}$

[profrotter]

vladiko в сообщении #503025 писал(а):

Функция хевисайда $\sigma(t)=0.5(1+sign(t))$ ,уже из этого определения видно что в образе Фурье будет дельта функция.

Кстати, а где видно каким будет образ для $sign(t)$?
Я говорил то о другом: во-первых о невыполнении свойства дифференцирования, когда преобразование Фурье рассматривается для неинтегрируемых функций, а во-вторых о связи преобразования Фурье и Лапласа.

[vladiko]

Видно очень хорошо, попробуйте посчитать по определению п.Ф. ,без дифференцирования и т.д. Там всё очень легко. И увидите как всё красиво получается. Если не получится, завтра напишу.

[profrotter]

vladiko в сообщении #503032 писал(а):

Видно очень хорошо, попробуйте посчитать по определению п.Ф. ,без дифференцирования и т.д. Там всё очень легко. И увидите как всё красиво получается. Если не получится, завтра напишу.

Не получилось. Подожду до завтра.